ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

La Jeep & le lac            Fonction trigonométrique à minimiser         Niveau TerS/Sup

 ➔   Ce problème est une variante du problème le puits et la maison où une solution algébrique est proposée.
Une étude trigonométrique est ici suggérée.

L'histoire se passe en Casamance (Sénégal) en véhicule 4 x 4 tout-terrain Turbo-Diesel-Intercooler-V6-24 soupapes. Vous êtes en A et désirez vous rendre le plus vite possible au bord du lac en un point situé en B sur le plan.

Mais les conditions sont difficiles : sur la piste vous roulerez (en moyenne) à 60 km/h et, à travers champs et marécages, à 40 km/h.

 !  On admet, pour simplifier, que vous ne vous retournez pas sur la piste (tôle ondulée) et que vous ne vous enlisez pas dans les marécages infestés de crocos malveillants...

A-t-on intérêt à passer par la piste en coupant "au plus court" à travers les marécages en sortant en C,
ou bien à sortir de piste plus avant en un point M qu'il s'agit alors de déterminer ? 

En d'autres termes :

Sur quelle distance a-t-on intérêt à suivre la piste ?

On donne : AC = 100 km , BC = 40 km, ^ACB = π/2.

 ➔   Indications :   

On notera M le point où l'on quitte la piste et x la mesure en radians de l'angle ^AMB. Utiliser le kilomètre comme unité de distance et l'heure comme unité de temps. 

1°/ Exprimer CM puis BM et AM en fonction de x.

2°/ On suppose x exprimé en radiant, x∈ ]0;π[. Montrer que le temps de parcours (itinéraire AB + BM) s'exprime sous la forme :

3°/ Montrer que f '(x) est du signe de 2 - 3cosx.   

4°/ Étudier le sens de variation de f en se restreignant à l'intervalle ]0;π[. En déduire que le temps de parcours est minimal pour une unique valeur α de x correspondant à un point M situé à environ 64 km du départ. 

Si vous séchez après avoir bien cherché : ›››› 

Dans le triangle rectangle BCM, on a :

♦  tan x = BC/CM = 40/CM , sin x = BC/BM = 40/BM , AC = 100 - CM , f(x) = AM/60 + BM/40.

♦  L'étude de f(x) conduit à : α ≅ 0,84 rad, soit environ 48°.

♦  Il faut prendre à travers champs à environ 64 km du départ car pour x = α, on a CM = 40/tanα ≅ 36 km.

♦  Le temps (total) de parcours étant alors sensiblement de 2,41 heures soit 2h 25 min.

 ➔   Le trajet entièrement à travers champs se ferait en 2 h 42' et le trajet via le point C se ferait en 2 h 40', donc sensiblement dans le même temps : il correspond à x = π/2.

 C'est quand même beau les maths... Non ?