ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

KEPLER Johannes, allemand, 1571-1630

Après des études de mathématiques à l'université de Tübingen, Kepler enseigna les mathématiques à Graz (Autriche). Passionné d'astronomie, il étudia et confirma les idées héliocentriques avancées par Copernic, s'opposant au géocentrisme de Ptolémée.

Poursuivi tant pour ces idées que pour sa religion (protestante), Kepler se réfugie (1600) à Prague, invité par l'astronome danois Tycho Brahé (1546-1601, à droite) où il poursuit ses recherches. Les successeurs du pape Paul V renonceront à poursuivre les idées héliocentriques.

Renonçant à voir dans l'explication de l'harmonie céleste la présence platonicienne des fameux polyèdres réguliers, il étudie les nombreuses observations de Brahé relatives à la trajectoire de la planète Mars pour laquelle il remarque une excentricité, considérée comme une anomalie dans la mesure où l'on croyait jusqu'alors à des trajectoires circulaires. Kepler découvre alors ses célèbres lois sur le mouvement des planètes (Astronomia Nova, 1609-1619) : elles décrivent des ellipses et non des cercles. Il en est de même des petites planètes tournant autour d'une "plus grosse", comme la Lune autour de la Terre, les satellites (du latin satelles, satellitis = garde du corps).

Kepler fut, avec Descartes et Newton, un des grands savants de cette époque qui développèrent les sciences en faisant grandement progresser les mathématiques. On lui doit le principe de l'inertie : un point immobile soumis à aucune action extérieure reste immobile.

étude des coniques par foyer et directrice :

Polyèdres réguliers étoilés de Kepler :

Kepler découvrit deux des 4 polyèdres réguliers étoilés portant aujourd'hui son nom. Deux siècles plus tard, Poinsot découvrit les deux autres :

Polyèdres étoilés de Kepler & Poinsot :

Les lois de Kepler :

orbite : du latin orbis = rond qui a fourni orbita = trace d'une roue, ornière.


Photo prise sur le site du cadran solaire géant (autoroute A9, aire de Tavel, Gard).

Noter que l'explication donnée par Kepler de cette théorie elliptique n'est pas gravitationnelle (ce sera le fait de Newton) mais magnétique : le Soleil provoquerait une sorte de tourbillon magnétique forçant les planètes à tourner autour de lui et ces dernières exerceraient également sur le Soleil une attraction ou une répulsion (à la façon d'un aimant) suivant le pôle qu'elles lui présentent.

Excentricité des orbites planétaires :

Une conique, ellipse (orbite planétaire) ou parabole, hyperbole  (trajectoires des "bolides" de l'espace comme certaines comètes et astéroïdes) peut être définie au moyen d'un foyer F et de deux paramètres positifs p (appelé justement paramètre) et e (excentricité). En coordonnées polaires, avec le foyer comme pôle (origine), l'équation de la conique est alors de la forme :

r est le rayon-vecteur. Par rayon vecteur Kepler entend le segment orienté d'origine le foyer F, d'extrémité le point de l'ellipse considérée. Le terme se généralisera à tout "vecteur" AM où A est un point fixe et M un point mobile d'une courbe donnée.

L'excentricité de l'orbite elliptique terrestre est très faible (0,017) : c'est dire que la trajectoire est quasi circulaire. On comprend la difficulté des astronomes, en l'absence de nombreuses observations et de matériels d'observation précis, à imaginer des trajectoires elliptiques (figures connues cependant depuis l'antiquité grecque : Ménechme, Apollonius de Perge).

Les plus fortes excentricités sont celles de Mercure (0,2) et de Pluton (0,25). Celle de Mars est de l'ordre de 0,1 (0,0934) : ce n'est pas négligeable et avant sa découverte des trajectoires elliptiques, Kepler émit l'idée que Mars décrivait un folium.

Le 30 août 2003, Mars est passée au plus proche de la Terre (55 millions de km) depuis 57617 ans avant J.-C. : C'est une opposition périhélique : la Terre (en bleu) se trouve exactement entre Mars (en rouge) et le Soleil à l'instant où Mars est au plus près de celui-ci (périhélie = position la plus proche du Soleil, aphélie = position la plus éloignée). La distance de Mars au Soleil varie sensiblement entre 206 et 249 millions de km (périhélie/aphélie), soit une moyenne de 228 millions de km. Elle décrit son orbite elliptique en 688 jours terrestres.

Kepler écrivait en latin; on lui doit l'usage systématique des termes ellipse : ellipsis, forgé sur le mot grec elleipsis = manque, déficience. L'excentricité de l'ellipse est inférieure à 1. Le premier usage de ce terme est dû à Apollonius de Perge et on l'utilise déjà couramment depuis la Renaissance). On doit également à Kepler les termes foyer (focus) et excentricité (excentricitas). Notons cependant que ces mots latins existaient déjà indépendamment de ces concepts.

  Edmond Halley  

Équation de Kepler :

Il s'agit d'une équation relative aux orbites planétaires liant l'excentricité (e = OF/OA = c/a), l'anomalie excentrique (ε = ^FOP') et l'anomalie moyenne (m) d'une planète P (la Terre par exemple) en orbite autour d'un astre F (notre Soleil par exemple) :

m = ε - e.sin ε ,  m et ε exprimés en radians

Sur le schéma, le cercle bleu est le cercle principal (image de l'orbite elliptique dans l'affinité de rapport a/b), φ = ^AFP est l'anomalie vraie.

On la calcule facilement au moyen de e et ε : OA = OP' est le demi-grand axe, b = est le demi-petit axe :


Vérifier que tan
φ = (1 - e2)½cos ε/(cos ε- e)         

Problème de Kepler :

L'anomalie moyenne m correspond à un angle ^AFP'' définie par un astre virtuel P'' tournant à vitesse angulaire constante autour de F et ayant la même période de révolution que P. La connaissance de m permet une localisation très simple de P à tout moment dans le ciel, mais le calcul de l'anomalie excentrique n'est pas simple.

Lagrange s'attaqua au problème et donna une solution sous forme de développement en série entière des puissances de l'excentricité e en faisant usage d'un théorème d'inversion portant son nom. Cauchy et Bessel en donneront une solution plus élaborée (ce dernier au moyen des fonctions portant également son nom) : Réf. 1 à 4

  Taylor

Empilement de sphères & conjecture de Kepler :

En 1610, Kepler étudie certaines formes géométriques de la nature comme les flocons de neige et les nids d'abeille (hexagonaux). A surface égale, parmi toutes les courbes fermées, le cercle est celui qui possède le plus petit périmètre mais il ne pave pas le plan (il laisse des trous, coloriés en gris ci-dessus) :

L'abeille trouve en l'hexagone régulier un pavage optimal : aire maximale pour un périmètre minimal parmi les 3 pavages réguliers possibles du plan (triangles équilatéraux, carrés, hexagones réguliers).

  aire côté si aire = 1 périmètre périmètre approché
triangle équilatéral de côté c c23/4 2/3 6/3 4,56
carré de côté c c2 1 4 4
hexagone de côté c 3c23/2 2/63 26/3 3,72

Le sujet fut étudié par l'américain Thomas Callister Hales (université de Princeton) qui prouva en 2000 (réf. 5) que :

Toute partition du plan en pavés d'égale surface et de périmètre minimal est celle du nid d'abeille, c'est à dire par le pavage hexagonal régulier.

    

Kepler en vient à se demander comment empiler un ensemble de sphères afin que le volume occupé soit le plus petit possible et conjecture que la solution est celle des enfants jouant aux billes dans les cours de récréation ou des militaires empilant, à cette époque, des boulets de canon. Ce problème  relève de la cristallographie (mailles et réseaux) et fut donc aussi étudiée par les chimistes. Une maille est un ensemble fini de points (les nœuds) de l'espace constituant un motif 3D. La répétition de ce motif par translation constitue un réseau.

D'apparence simple, étudié par Gauss (1831) et de nombreux mathématiciens contemporains, ce problème très difficile n'a trouvé une solution qu'en 1997-98 par Thomas C. Hales et son élève S. Ferguson, confirmant les avancées sur le sujet depuis Gauss :

Tout empilement de sphères dans l'espace euclidien de dimension 3 a une densité au plus égale
à la densité π/18= π/32 0,74 de l'empilement cubique à faces centrées.

Hilbert a généralisé et formalisé ce problème dans son 18è problème.

Nombres pyramidaux :   

L'empilement est dit cubique à faces centrées pour exprimer qu'on peut l'obtenir à partir d'un réseau cubique en plaçant des sphères identiques centrées en chaque nœud du réseau, le rayon étant calculé afin qu'elles soient tangentes à celles qui leurs sont adjacentes. Par densité, on entend la limite du rapport v/V où v désigne le volume de l'empilement et V celui du cube de côté c qui le contient lorsque c tend vers l'infini.

Le nombre de sphères (ou de billes) constitue un nombre pyramidal polygonal.

Dans le second cas, si le coté de la base contient n sphères, le nombre total de sphères est la somme des carrés des entiers naturels de 1 à n, à savoir :

n(n + 1)(2n + 1)/6

Concernant le premier cas, la formule donnant le nombre total de sphères est :

n(n + 1)(n + 2)/6

et on pourra se référer à la page consacrée à Manjul Bhargava ou, directement à cet exercice corrigé.

Un peu de cristallographie :

empilement de cercles , empilement de sphères


Combien y a-t-il de boulets dans cette formation pyramidale ? Rép. : 465

Pour en savoir plus :

  1. Problème de Kepler : pages d'Alexandre Vial (univ. techno. de Troyes) : http://kaekoda.free.fr/bup/bup2_html/bup2_htmlse6.html

  2. Problème de Kepler : sur ADS (Astrophysics Data System), Moyen de résoudre graphiquement le problème de Kepler
    par Edmond Dubois (officier de marine et astronome français, 1822-1891) :
    http://articles.adsabs.harvard.edu/full/1863AN.....59..177D

  3. Problème de Kepler : Wolfram Mathworld, page d'Eric W. Weisstein : http://mathworld.wolfram.com/KeplersEquation.html

  4. Problème de Kepler : la solution de Lagrange (par son théorème d'inversion), page de M. Müller :
    http://info.ifpan.edu.pl/firststep/aw-works/fsII/mul/mueller.html

  5. Théorème du nid d'abeille, preuve par Hales de la conjecture de Kepler (Honeycomb conjecture) :
    http://arxiv.org/pdf/math/9906042v2.pdf

  6. Empilement compact par Christine Bachoc (univ Bordeaux) : http://www.ufr-mi.u-bordeaux.fr/~bachoc/Mathenjean.pdf

  7. Empilement compact sur Numdam, Séminaire Bourbaki, articles de Joseph Oesterlé :
    - http://archive.numdam.org/article/SB_1998-1999__41__405_0.pdf

  8. Empilement compact sur CultureMath, page de Denis Auroux (CNRS / Polytechnique :
    http://www.dma.ens.fr/culturemath/maths/pdf/geometrie/empilement.pdf

  9. Empilement compact sur Wikipedia : http://fr.wikipedia.org/wiki/Empilement_compact


Galilée  Metius
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