ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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PLATEAU Joseph Antoine Ferdinand, belge, 1801-1883

Ce physicien et astronome fit des études de droit et de physique à l'université de Liège. Professeur à Bruxelles puis à l'université de Gand de 1835 jusqu'à sa retraite, il peut être considéré comme le père du dessin animé, et du futur cinématographe.

Suite à ses recherches sur la persistance des impressions rétiniennes, Plateau est en effet l'inventeur (1829) du stroboscope (du grec strobos = action de tournoyer et skopeïn = examiner), également appelé à l'époque phénakistiscope (du grec phénakistikos = trompeur). C'est d'ailleurs en observant imprudemment le Soleil à l'œil nu que Plateau perdit la vue. Quelques années plus tard William Horner améliorera le procédé avec son zootrope (du grec encore : zôon = animal et tropos = action de tourner) montrant les différentes phases animées du mouvement.

Illustrations animées du phénakistiscope sur Wikipédia :                  Zootrope sur YouTube  :

Problème de Plateau (1840) :

En statique des fluides, Plateau se distingua par son célèbre problème de surface minimale, portant aujourd'hui son nom, reposant sur l'observation de films de savon obtenus en plongeant et ressortant une courbe gauche fermée (concrétisée au moyen d'un fil rigide) dans de l'eau savonneuse :

Il s'agit d'un très difficile problème d'équilibre, relevant du calcul des variations, lié à la tension superficielle subie par une lame fluide lorsqu'elle s'appuie sur un bord solide. Il fut posé par Euler (1744) dans ses recherches sur les surfaces d'aire minimale. Lagrange, avec lequel il correspondait, s'y intéressa également (1760) en tant qu'application du principe de moindre action. Le problème de Plateau peut ainsi être posé :

Étant donné une courbe fermée simple (C) de l'espace euclidien, rechercher une surface d'aire minimale de contour (C).

Meusnier et Euler, pionniers en la matière avec le caténoïde :

Lagrange prouva, ainsi que Gauss et Meusnier, qu'une surface est minimale si et seulement si sa courbure moyenne est nulle en tout point.

Ce très difficile problème que l'on peut illustrer par les films de savon que l'on étire, un bord étant fixé, fut résolu en 1931 par l'américain Jesse Douglas ( réf.2) colauréat, avec Lars Ahlfors, de la première médaille Fields en 1936. Une seconde preuve sera apportée par le mathématicien américain d'origine hongroise Tibor Rado (qui fut un élève de Riesz à Szeged), à qui l'on doit également une résolution du 19è problème de Hilbert (1929).

L'hélicoïde, ci-contre est un exemple de surface minimale. De l'eau savonneuse déposée sur une hélice circulaire dont l'axe a été matérialisé, forme un film de savon qui va s'écouler par gravitation en minimisant sa tension. On constate alors que le film épouse la forme d'un hélicoïde.

Problème de Bernstein :


Pour en savoir plus :

  1. Statique expérimentale et théorique des liquides soumis aux seules forces moléculaires (1873) :
    https://archive.org/details/statiqueexprime00platgoog

  2. Solution of the problem of Plateau par Jesse Douglas :
    http://www.ams.org/journals/tran/1931-033-01/S0002-9947-1931-1501590-9/S0002-9947-1931-1501590-9.pdf

  3. Quelques aspects des surfaces minimales, par Alexis Michelat et Sheng Yuan Zhao ENS) :
    https://www.math.ens.fr/enseignement/telecharger_fichier.php?fichier=1432

  4. On certain two-point properties of general families of curves (sujet de thèse de J. Douglas) :
    http://www.ams.org/journals/tran/1921-022-03/S0002-9947-1921-1501175-8/S0002-9947-1921-1501175-8.pdf

  5. Surfaces minimales, par Pierre Bérard, univ. J. Fourier, Grenoble, 2011 :
    https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~pberard/D/surfaces-minimales-beamer.pdf

  6. Mathématiques savonneuses, par Paul Laurain sur le site Images des mathématiques (CNRS) :
    http://images.math.cnrs.fr/mathematiques-savonneuses.html

  7. Surfaces minimales et lignes de courbures, par Pierre Gallais sur le site Images des mathématiques (CNRS) :
    http://images.math.cnrs.fr/Surfaces-minimales-et-lignes-de.html


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