ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

 Convergence spirale (ou en escargot)  d'une suite récurrente
    
Autres cas : divergence "spirale" , convergence en "escalier" , usage d'une suite auxiliaire

Cet exercice est une application de l'inégalité des accroissements finis :  Lagrange.

On considère la suite numérique (u) définie, pour tout n de N, par la relation de récurrence :

1°/  Tracer la courbe représentative de f : xcos x sur l'intervalle [0;1] dans un repère orthonormé d'unité 10 cm. Tracer la droite δ d'équation y = x.

On a :

On constate une "rapide" convergence en spirale, également dite en escargot, vers un point d'abscisse a, compris entre 0,7 et 0,8 et vérifiant tant y = a (point de δ) que y = cos a (point de la courbe), soit :

    cos a = a

Justifier que pour toute suite (u) convergente, de limite L, définie par une relation du type un+1 = f(un), f désignant une fonction continue, on a nécessairement f(L) = L.

Construction d'un cas convergent où f est non continue :

Cette convergence en spirale exprime une oscillation des valeurs prises par la suite autour de a (alternativement supérieures et inférieures). Cela est dû au fait que la fonction cosinus est décroissante :

On est en droit de conjecturer que la suite (un) est convergente vers aProuvons-le :

2°/ Vérifier par récurrence que pour tout n de N, on a 0 < un < 1. 
3°/ On pose k = sin 1; montrer, en utilisant l'inégalité des accroissements finis, que pour tout couple (x,y) de [0;1], on a :

 

4°/ Vérifier par récurrence que pour tout n de N, on a :

En remarquant que 0 < k < 1, prouver la convergence de la suite (un) vers a.

5°/ Il est facile d'obtenir, par encadrements successifs, une valeur approchée assez précise de a :

a @ 0,739085

On peut procéder par dichotomie ou par pas décimaux (programmes JavaScript) :

Méthode des pas décimaux :               Théorèmes de points fixes :


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