ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Échelles croisées  #2       niveau TerS   (fonction irrationnelle : radicaux)     » variantes : propriété de Thalès (niveau 3è) , équation du 4ème degré (niveau TerS/Sup)

Un peintre place deux échelles l'une à côté de l'autre entre deux pans de mur comme l'indique le schéma ci-dessous. La première échelle mesure 3 mètres, la seconde 2 mètres. Vues de profil, les échelles se croisent à 1 m de hauteur :
 

• En appliquant le théorème de Thalès, dans le triangle BAC d'une part et DAC d'autre part, montrer que l'on a 1/AD + 1/BC = 1.
   

• En exprimant AD et BC en fonction de x = AC, montrer que la distance entre les deux pans est solution de l'équation f(x) = 1 où f désigne la fonction définie pour tout x de l'intervalle [0,2[ par : 

f(x) = 1/√(4 - x²) + 1/√(9 - x²)

• Étudier les variations de f et prouver que l'équation f(x) = 1 n'admet qu'une solution. En déduire une valeur approchée au cm près de la distance cherchée en procédant par dichotomie.

Réponse :    

L'étude de la fonction f ne présente pas de difficultés.
On constate graphiquement que f prend la valeur 1 entre x = 1 et x = 1,5.

Par approximations successives, ou par la méthode dichotomique, on est conduit à la solution :

x ≅ 1,22 

avec une erreur ε inférieure à 1 cm. Vu le procédé dichotomique, l'erreur ε est réduite de moitié à chaque itération : au départ ε = 1/2, puis 1/4, puis 1/8.... On s'arrête lorsque ε < 0,01 correspondant alors à 1/128 (6ème itération).