ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 Échelles
croisées #2
niveau
TerS
(fonction irrationnelle : radicaux)
variantes :
propriété de Thalès (niveau
3è) ,
équation du 4ème degré (niveau TerS/Sup) |
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Un peintre place deux échelles l'une à côté de l'autre entre deux pans de mur comme l'indique le schéma de droite.
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Pourriez-vous en déduire la distance entre les deux pans de mur ?
Si vous séchez après avoir bien
cherché :
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Indications pour la solution : |
En appliquant le théorème
de Thalès, dans le triangle BAC d'une part et DAC d'autre part, montrer que l'on a 1/AD + 1/BC =
1.
En exprimant AD et BC en fonction
de x = AC, montrer que la distance entre les deux pans est solution de
l'équation f(x) = 1 où f désigne la fonction :
Étudier les variations de f et prouver que l'équation f(x) = 1 n'admet qu'une solution. En déduire une valeur approchée au cm près de la distance cherchée en procédant par dichotomie.
Réponse :
L'étude de la fonction f
ne présente pas de difficultés.
On constate
graphiquement que f prend la valeur 1 entre x = 1 et x = 1,5.
Par approximations successives, ou par la méthode dichotomique, on est conduit à la solution :
x @ 1,22
avec une erreur e inférieure à 1 cm.
Vu le procédé dichotomique, l'erreur e est réduite de moitié à chaque itération : au départ e = 1/2, puis 1/4, puis 1/8....
On s'arrête lorsque e
< 0,01 correspondant alors à 1/128 (6ème itération).
La première mesure 3 mètres,
la seconde 2 mètres. 