Résistor et puissance

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Loi d'Ohm - Loi des mailles niveau 1èreS » résistances et loi des nœuds

Un résistor, de résistance R, est branché aux bornes d'une pile de résistance interne 0,5 Ω et fournissant une tension de 3V (force électromotrice E).

On se propose de calculer la résistance R afin que la puissance dissipée par le résistor soit maximale.

1°/ En écrivant que U_AB + U_BA = 0 (loi des mailles), montrer que E = ri + Ri, où i désigne l'intensité du courant traversant le résistor (loi d'Ohm généralisée pour une maille fermée).

2°/ Sachant que la puissance dissipée par un résistor est P = Ri², montrer que l'on a :

Étudier et représenter graphiquement la fonction R → P(R) sur un ensemble de définition convenable. Conclure.

3°/ Quelle remarque pouvez-vous faire ? Quelle conjecture peut-on énoncer ? Pourriez-vous démontrer votre assertion ?

Si vous séchez après avoir bien cherché : ››››

Solution :

1°/ Le cours de physique enseigne que U_AB = Ri et U_BA = E - ri et U_AB + U_BA = 0 conduit au résultat annoncé :

E = ri + Ri

2°/ Les hypothèses fournissent 3 = Ri + i/2, ce qui permet d'évaluer i en fonction de R :

En remplaçant i par cette expression dans P = Ri², on obtient le résultat annoncé :

Sous cette forme P est une fonction de R. Calculons la fonction dérivée P'(R) :

P'(R) est du signe de 1 - 2R. On en déduit que :

P passe par un maximum pour R = 0,5 Ω puis décroît vers 0 lorsque R augmente. On constate donc R = r. La courbe est représentée sur l'intervalle [0;2].

➔ D'une façon générale P(R) = E × R/(R + r)² et P'(R) est du signe de (r + R)(r - R), donc du signe de r - R. En dressant le tableau de variation de P, on constate que la puissance dissipée est maximale, si R = r.

La puissance maximale est ici 4,5 W. D'une façon générale, elle est égale à E²/4r.