ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Bouée optimale...   niveau 1èreS/TerS

Au moyen de secteurs circulaires découpés dans des disques métalliques de rayon R = 4 dm (40 cm), il s'agit de fabriquer une bouée d'amarrage, de forme biconique pour une petite embarcation, illustrée ci-contre.

Les deux cônes qui la constituent seront identiques et soudés par leur base.

Pour une meilleure flottaison, le volume de la bouée doit être maximal.

Quelles doivent donc être les dimensions optimales des secteurs ?

Indications :     

A droite est représenté un secteur de rayon R, d'angle d'ouverture. R étant donné (4dm), il s'agit de déterminer α ou r, comme on le voit sur le schéma de droite, afin que le volume d'un des cônes constituant la bouée soit maximal.

Rappel : Le volume d'un cône de rayon de base r, de hauteur h est donné par la formule V = πr2h/3.

       

 Si r désigne le rayon de la base d'un des cônes, on montrera que le volume de la bouée est donné par :

Si vous séchez après avoir bien cherché : 


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Indications :

En exprimant que R2 = r2 + h2, on obtient facilement :  

r variant de 0 à 4. L'étude de la fonction V montre que sa dérivée est du signe de r(32 - 3r2). Ce volume passe par un maximum pour r = 4(2/3) 3,27 cm.

Sachant que R = 4, on en déduit :

αo = 360r/R (mesure en degrés), soit αo 294°

 on remarquera en fait que l'angle optimal α ne dépend pas de R = 4 dm car le rayon r optimal n'est autre que R(2/3) et par suite αo = 360(2/3); en notations conventionnelles :


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