ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

CASSINI Gian Domenico (Jean-Dominique), français, 1625-1712         
     » Identité de Cassini | Ovales de Cassini | Phases de la Lune

D'origine italienne (il naquit à Perinaldo, dans le comté de Nice, alors sous l'obédience de la maison de Savoie), Gian Domenico fit de brillantes études au collège des Jésuites de Gènes. à 23 ans, diplômé d'astronomie, il commence à enseigner à l'université de Bologne et deux ans plus tard (1650), tout juste âgé de 25 ans, il succède à Bologne à la chaire d'astronomie laissée vacante à la mort de Cavalieri.

Depuis Galilée, les lunettes astronomiques ont beaucoup évolué. Il se fait connaître par ses nombreuses et précises observations des planètes (Mars, Vénus, Jupiter) et des comètes. En tant que surintendant des eaux auprès du pape Alexandre VII, Cassini intervint également en géodésie, une spécialité qui sera celle de son fils Jacques et petit-fils César-François.

à la demande de Colbert, ministre du roi Louis XIV, il se rend en France (1669) et, naturalisé français, membre de la toute récente Académie Royale des sciences et du bureau des longitudes, Cassini sera le premier directeur l'année suivante du tout nouvel observatoire de Paris dont la fondation avait été décidée en 1667 (achevé après cinq années de travaux). Il y rencontrera Huygens installé à Paris depuis 1665, à l'invite également de Colbert.

 ➔  Après les travaux de Copernic, Galilée et la mise en place des lois de Kepler, on pourra regretter que ce grand savant n'ait pas reconnu l'héliocentrisme, théorie selon laquelle les planètes tournent autour du Soleil. Alors jeune astronome, il enseignait à Bologne la théorie géocentrique de Ptolémée qu'il ne réfuta curieusement pas ultérieurement ! Cela ne l'empêcha pas de découvrir l'existence de quatre satellites (quatre lunes) de Saturne et la séparation entre ses anneaux, dite division de Cassini (1675). De nos jours, plus de 30 satellites de Saturne sont répertoriés. Le premier reconnu remonte à Huygens (Titan, 1655). En hommage à Cassini et Huygens, la Nasa et l'Agence spatiale européenne utilisèrent leurs noms afin de désigner la mission envoyée sur Titan en 1997.

En géodésie, collaborant avec Jean Picard, Cassini intervint dans l'étude de l'approvisionnement en eau des fontaines et canaux du château de Versailles ainsi que dans la mesure du rayon terrestre en mesurant une portion de la méridienne Paris-Amiens par triangulation (» article détaillé sur Wikipédia).

»  Maupertuis , Clairaut , Méchain , Delambre

Les Cassini furent une grande famille d'astronomes et géodésiens :
•  Le fils de Jean-Dominique, Jacques (1677-1756), s'intéressa tout particulièrement à la mesure de la Terre. C'est à lui que l'on doit la preuve de l'aplatissement de la Terre au voisinage des pôles (forme ellipsoïdale). Il fut membre de la Royal society et mourut à Thury (Yonne). On pourra consulter ce lien relatif à Jacques Cassini et son rôle
• Le fils de Jacques, César-François Cassini de Thury (1714-1784), spécialiste de géodésie, fut aussi directeur de l'observatoire de Paris. Il établira la carte de la France par triangulation.
• Le fils de Jacques, Jacques-Dominique (1748-1845) succédera à son père au même poste, complétera ses travaux et participera à la division administrative de la France en départements. Il fut anobli par Napoléon.
• Le fils du précédent, Alexandre-Henri (1784-1832), vicomte de Cassini, se détournera de l'astronomie pour la magistrature et la botanique.

La dynastie des Cassini à l'observatoire de Paris (site de l'IMCCE) : »

Étude du mouvement de la Lune :

Cassini énonça les lois de la rotation de la Lune, tant autour de la Terre que sur elle-même.


Image extraite de la chaîne YouTube L'esprit sorcier de Frédéric Courant, continuateur de l'émission C'est pas sorcier de France 3

 i  Le mot latin luna nous a apporté notre lune. Il provient de l'indo-européen leuk-s-na = la lumineuse. Le terme lune est utilisé pour désigner les satellites naturels des planètes. Avec une majuscule, Lune désigne notre satellite.

Parallaxe d'un astre & distance Terre-Lune : »

La Lune tourne sur elle-même dans le même temps qu'elle tourne autour de la Terre. C'est ainsi qu'elle nous présente toujours la même face et que l'on parle de la face cachée de la Lune. Selon les astronomes, il a sans doute fallu des millions d'années pour arriver à ce résultat étonnant expliqué par les lois de la gravitation universelle d'Isaac Newton (attraction entre les deux astres et influence des marées).

Entre les temps to et t1, la Terre tourne d'un angle â (voir figure) et dans le même laps de temps, la Lune tourne autour de la Terre en effectuant autour de son axe (quasiment perpendiculaire à son orbite : 83,5°) une rotation en sens inverse de même angle â. C'est grâce à cette non exacte perpendicularité que l'on peut observer alternativement le pôle sud et le pôle nord de notre satellite.

La Lune est par ailleurs soumise à des librations (du latin libro, librare = balancer), perturbations gravitationnelles provoquées tant par les autres planètes du système solaire que par la nature interne de la Terre (noyau ferreux par exemple). Galilée fut le premier astronome à observer ce phénomène. Au final, la Lune balance légèrement en longitude ("Est-Ouest") et latitude ("Nord-Sud") en nous dévoilant périodiquement une petite partie de sa face cachée. On estime ainsi à 59% la surface visible de notre satellite.

»  Lagrange , Thalès , Méton , Distance Terre-Lune , Parallaxe

Phases de la Lune :

Au cours de sa révolution autour de la Terre, la Lune présente périodiquement des parties cachées laissant apparaitre des croissants éclairés par le Soleil, également appelés lunules (» Hippocrate de Chio) ou, entre demi-Lune et pleine Lune, une apparence ovale, dite gibbeuse (du latin gibbus = bombé, bossu). Ce phénomène s'explique par les différentes configurations illustrées ci-dessous :

On se place "au-dessus" de l'écliptique; un terrien T observe la Lune sous un angle â formé par la direction des rayons solaires et l'axe (TO). On considère les rayons du Soleil parallèles (» Ératosthène) car la distance de la Terre au Soleil étant d'environ 150 millions de km, on peut le considérer à l'infini eu égard au faible diamètre terrestre (environ 6400 km) relativement à cette distance. Le terrien T ne peut voir de la Lune que la partie limitée par le plan perpendiculaire à (TO) passant par O.

Dans la configuration ci-dessous, vue au-dessus de l'écliptique, la seule partie visible est le secteur AOB. L'angle â, angle de phase, se retrouve en ^AOB (angles à côtés perpendiculaires). Notre terrien ne voit que le profil du secteur AOB, tranche de Lune (lunule) illustrée ci-dessous, dont on peut évaluer la largeur s par rapport au rayon apparent de la Lune vue de la terre pris comme unité. Dans le cas 0 ≤ â ≤ 90°, on a :

s = HB = OB - OH = 1 - cosâ.

 


» Phases de la Lune, et bien plus, en visionnant cette vidéo YouTube
Image extraite de la chaîne YouTube L'esprit sorcier de Frédéric Courant, continuateur de l'émission C'est pas sorcier de France 3
» Voir aussi Les phases de la Lune sur la chaîne YouTube Sciences physiques collège et lycée

Les satellites naturels des planètes du système solaire (source Larousse.fr) : »

Cassinoïdes ou ovales de Cassini :

Aussi dites cassinoïdes ou ellipses de Cassini, il s'agit des ensembles de points M du plan euclidien vérifiant :

             MF1 × MF2 = k2

où F1 et F2 sont fixes (foyers) et k un nombre réel positif non nul. Cassini étudia ces courbes (1680) afin de trancher entre héliocentrisme (la Terre tourne autour du Soleil) et géocentrisme (le Soleil tourne autour de la Terre). Dans ce dernier cas, selon Cassini, le Soleil décrirait un tel "ovale" dont un des foyers serait la Terre, ce n'est pas tout à fait la vision de Kepler... Mais Cassini abandonna ce sujet brûlant.

»  Pythagore, Ptolémée, Galilée, Copernic

 ➔   Bien noter que c'est le produit MF1 × MF2 des distances qui est constant. Pour l'ellipse c'est la somme MF1 + MF2 qui est constante.

Étude des ovales de Cassini : »        Tore et ovales de Cassini : »

Identité de Cassini :

Il s'agit d'un résultat concernant la suite de Fibonacci selon lequel, pour tout n ≥ 1 :

un2 - un-1un+1 = (-1)n

Preuve 1 : procédons par récurrence en ayant vérifié la formule pour n = 1. Admettons la formule au rang nÉtudions la validité de la relation au rang n+1 : un+12 - unun+2 = (-1)n. Elle s'écrit :

(un + un-1)2 - un(un + un+1) = un-12 + 2 unun-1 - unun+1 = un-12 + unun-1 + unun-1 - unun+1
                                           = un-1(un-1 + un)  + un(un-1 - un+1) = un-1un+1 + un(-un) = un-1un+1 - un2
                                           = -(-1)n = (-1)n+1          CQFD.

Preuve 2 : on utilise la formule de Binet pouvant s'écrire un = (Φn+1 + (-1)n/Φn+1)/√5. En appliquant cette formule à un-1 et un+1, on remplace dans le 1er membre et on obtient un2 - un-1un+1 = [2(-1)n + (-1)n(Φ2 + 1/Φ2)]/5. Un petit calcul élémentaire conduit à Φ2 + 1/Φ2 = 3. Et 3 + 2 = 5...

de Sluse  Huygens
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