ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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CASSINI Gian Domenico (Jean-Dominique), français, 1625-1712          » identité de Cassini

D'origine italienne (il naquit à Perinaldo, dans le comté de Nice, alors sous l'obédience de la maison de Savoie), Gian Domenico fit de brillantes études au collège des Jésuites de Gènes. à 23 ans, diplômé d'astronomie, il commence à enseigner à l'université de Bologne et deux ans plus tard (1650), tout juste âgé de 25 ans, il succède à Bologne à la chaire d'astronomie laissée vacante à la mort de Cavalieri. Depuis Galilée, les lunettes astronomiques ont beaucoup évolué. Il se fait connaître par ses nombreuses et précises observations des planètes (Mars, Vénus, Jupiter) et des comètes. En tant que surintendant des eaux auprès du pape Alexandre VII, Cassini intervint également en géodésie, une spécialité qui sera celle de son fils Jacques et petit-fils César-François.

à la demande de Colbert, ministre du roi Louis XIV, il se rend en France (1669) et, naturalisé français, membre de la toute récente Académie Royale des sciences et du bureau des longitudes, Cassini sera le premier directeur l'année suivante du tout nouvel observatoire de Paris dont la fondation avait été décidée en 1667 (achevé après cinq années de travaux). Il y rencontrera Huygens installé à Paris depuis 1665, à l'invite également de Colbert. En géodésie, collaborant avec Jean Picard, il intervint dans l'étude de l'approvisionnement en eau des fontaines et canaux du château de Versailles ainsi que dans la mesure du rayon terrestre en mesurant une portion de la méridienne Paris-Amiens par triangulation (» article détaillé sur Wikipédia).

   En astronomie, après les travaux de Copernic, Galilée et la mise en place des lois de Kepler, on pourra regretter que ce grand savant n'ait pas reconnu l'héliocentrisme, théorie selon laquelle les planètes tournent autour du Soleil. Alors jeune astronome, il enseignait à Bologne la théorie géocentrique de Ptolémée qu'il ne réfuta curieusement pas ultérieurement ! Cela ne l'empêcha pas de découvrir l'existence de quatre satellites (quatre lunes) de Saturne et la séparation entre ses anneaux, division de Cassini (1675). De nos jours, plus de 30 satellites de Saturne sont répertoriés. Le premier reconnu remonte à Huygens (Titan, 1655). En hommage à Cassini et Huygens, la Nasa et l'Agence spatiale européenne utilisèrent leurs noms afin de désigner la mission envoyée sur Titan en 1997.

Les Cassini furent une grande famille d'astronomes et géodésiens :
•  Le fils de Jean-Dominique,
Jacques (1677-1756), s'intéressa tout particulièrement à la mesure de la Terre. Il fut membre de la Royal society et mourut à Thury (Yonne).
• Le fils de Jacques, César-François Cassini de Thury (1714-1784), spécialiste de géodésie, fut aussi directeur de l'observatoire de Paris. Il établira la carte de la France par triangulation.
• Le fils de Jacques, Jacques-Dominique (1748-1845) succédera à son père au même poste, complétera ses travaux et participera à la division administrative de la France en départements. Il fut anobli par Napoléon.
• Le fils du précédent, Alexandre-Henri (1784-1832), vicomte de Cassini, se détournera de l'astronomie pour la magistrature et la botanique.

Étude du mouvement de la Lune :

Cassini énonça les lois de la rotation de la Lune tant autour de la Terre que sur elle-même.

 i  Le mot latin luna nous a apporté notre lune. Il provient de l'indo-européen leuk-s-na = la lumineuse. Le terme lune est utilisé pour désigner les satellites naturels des planètes. Avec une majuscule, Lune désigne notre satellite.

Tout comme la Terre autour du Soleil, la Lune tourne autour de la Terre suivant une orbite elliptique d'excentricité relativement importante, en moyenne : 1/18 ≈ 0,055. Son temps de révolution est de 27 j 7 h 43 min 11,5 s. Mais la Lune tourne sur elle-même dans le même temps qu'elle tourne autour de la Terre. C'est ainsi que la Lune nous présente toujours la même face et que l'on parle de la face cachée de la Lune.

Entre les temps to et t1, la Terre tourne d'un angle â (voir figure) et dans le même laps de temps, la Lune tourne autour de la Terre en effectuant autour de son axe (quasiment perpendiculaire à son orbite : 83,5°) une rotation en sens inverse de même angle â. C'est grâce à cette non exacte perpendicularité que l'on peut observer alternativement le pôle sud et le pôle nord de notre satellite.

La Lune est par ailleurs soumise à des librations (du latin libro, librare = balancer), perturbations gravitationnelles provoquées tant par les autres planètes du système solaire que par la nature interne de la Terre (noyau ferreux par exemple). Galilée fut le premier astronome à observer ce phénomène. Au final, la Lune balance légèrement en longitude ("Est-Ouest") et latitude ("Nord-Sud") en nous dévoilant périodiquement une petite partie de sa face cachée. On estime ainsi à 59% la surface visible de notre satellite.

»  Lagrange , Thalès , Méton , Distance Terre-Lune , Parallaxe

Cassinoïdes ou ovales de Cassini :

Aussi dites cassinoïdes ou ellipses de Cassini, il s'agit des ensembles de points M du plan euclidien vérifiant :

             MF1 × MF2 = k2

où F1 et F2 sont fixes (foyers) et k un nombre réel positif non nul. Cassini étudia ces courbes (1680) afin de trancher entre héliocentrisme (la Terre tourne autour du Soleil) et géocentrisme (le Soleil tourne autour de la Terre). Dans ce dernier cas, selon Cassini, le Soleil décrirait un tel "ovale" dont un des foyers serait la Terre, ce n'est pas tout à fait la vision de Kepler... Mais Cassini abandonna ce sujet brûlant.

»  Pythagore, Ptolémée, Galilée, Copernic

    Bien noter que c'est le produit MF1 × MF2 des distances qui est constant. Pour l'ellipse c'est la somme MF1 + MF2 qui est constante.

Étude des ovales de Cassini : »        Tore et ovales de Cassini : »

Identité de Cassini :

Il s'agit d'un résultat concernant la suite de Fibonacci selon lequel, pour tout n ≥ 1 :

un2 - un-1un+1 = (-1)n

Preuve 1 : procédons par récurrence en ayant vérifié la formule pour n = 1. Admettons la formule au rang nÉtudions la validité de la relation au rang n+1 : un+12 - unun+2 = (-1)n. Elle s'écrit :

(un + un-1)2 - un(un + un+1) = un-12 + 2 unun-1 - unun+1 = un-12 + unun-1 + unun-1 - unun+1
                                           = un-1(un-1 + un)  + un(un-1 - un+1) = un-1un+1 + un(-un) = un-1un+1 - un2
                                           = -(-1)n = (-1)n+1          CQFD.

Preuve 2 : on utilise la formule de Binet pouvant s'écrire un = (Φn+1 + (-1)nn+1)/√5. En appliquant cette formule à un-1 et un+1, on remplace dans le 1er membre et on obtient un2 - un-1un+1 = [2(-1)n + (-1)n(Φ2 + 1/Φ2)]/5. Un petit calcul élémentaire conduit à Φ2 + 1/Φ2 = 3. Et 3 + 2 = 5...


de Sluse  Huygens
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