ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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CASSINI Jean-Dominique, français, 1625-1712          identité de Cassini

Astronome d'origine italienne (il naquit à Perinaldo, dans le comté de Nice, alors sous l'obédience de la maison de Savoie), il fit ses études à Gènes et succédera à Bologne à la chaire d'astronomie de Cavalieri. Naturalisé français, il fut le premier directeur de l'observatoire de Paris (1672) dont la fondation fut décidée par Louis XIV sur la demande de Colbert (1667, 5 ans de travaux).

Les Cassini furent une grande famille d'astronomes :
  le fils de Jean-Dominique, Jacques (1677-1756), s'intéressa tout particulièrement à la mesure de la Terre. Il fut membre de la Royal society et mourut à Thury (Yonne).
  le fils de Jacques, César-François Cassini de Thury (1714-1784), spécialiste de géodésie, fut aussi directeur de l'observatoire de Paris. Il établira la carte de la France par triangulation.
  le fils de Jacques, Jacques-Dominique (1748-1845) succédera à son père au même poste, complétera ses travaux et participera à la division administrative de la France en départements. Il fut anobli par Napoléon.
  le fils du précédent, Alexandre-Henri (1784-1832), vicomte de Cassini, se détournera de l'astronomie pour la magistrature et la botanique.

Cassini découvrit l'existence de quatre satellites (quatre lunes) de Saturne. On en a dénombré de nos jours (2004) plus de 30. Le premier reconnu remonte à Huygens (Titan, 1655). En hommage à Cassini et Huygens, la Nasa et l'Agence spatiale européenne utilisèrent leurs noms afin de désigner la mission envoyée sur Titan en 1997. Huygens.

Cassini énonça les lois de la rotation de la Lune. Sa descendance se distingua également en astronomie et en cartographie.

  Le mot latin luna nous a apporté notre lune. Il provient de l'indo-européen leuk-s-na = la lumineuse. Le terme lune est utilisé pour désigner les satellites naturels des planètes. Avec une majuscule, Lune désigne notre satellite.

 Rappelons en particulier que la Lune, tout comme la Terre, tourne sur elle-même dans le même temps qu'elle tourne autour de la Terre : 29 j 12 h 44 min. : c'est ainsi que la Lune nous présente toujours la même face et que l'on parle de la face cachée de la Lune.

Entre les temps to et t1, la Terre tourne d'un angle â (voir figure) et dans le même laps de temps, la Lune tourne autour de la Terre en effectuant autour de son axe (quasiment perpendiculaire à son orbite : 83,5°) une rotation en sens inverse de même angle â. C'est cette non exacte perpendicularité qui permet de voir alternativement le pôle sud et le pôle nord de notre satellite.

  Lagrange , Thalès , Méton , Distance Terre-Lune , Parallaxe

Ovales de Cassini :

Aussi dites cassinoïdes ou ellipses de Cassini, il s'agit des ensembles de points M du plan euclidien vérifiant :

             MF1 x MF2 = k2

où F1 et F2 sont fixes (foyers) et k un nombre réel positif non nul. Cassini étudia ces courbes (1680) afin de trancher entre héliocentrisme (la Terre tourne autour du Soleil) et  géocentrisme (le Soleil tourne autour de la Terre). Dans ce dernier cas, selon Cassini, le Soleil décrirait un tel "ovale" dont un des foyers serait la Terre, ce n'est pas tout à fait la vision de Kepler...

  Pythagore, Ptolémée, Galilée, Copernic

Bien noter que c'est le produit MF1 x MF2 des distances qui est constant. Pour l'ellipse c'est la somme MF1 + MF2 qui est constante.

Étude des ovales de Cassini :      Tore et ovales de Cassini :

Identité de Cassini :

Il s'agit d'un résultat concernant la suite de Fibonacci selon lequel, pour tout n ≥ 1 :

un2 - un-1un+1 = (-1)n

Preuve 1 : procédons par récurrence en ayant vérifié la formule pour n = 1. Admettons la formule au rang nÉtudions la validité de la relation au rang n+1 : un+12 - unun+2 = (-1)n. Elle s'écrit :

(un + un-1)2 - un(un + un+1) = un-12 + 2 unun-1 - unun+1 = un-12 + unun-1 + unun-1 - unun+1
                                           = un-1(un-1 + un)  + un(un-1 - un+1) = un-1un+1 + un(-un) = un-1un+1 - un2
                                           = -(-1)n = (-1)n+1          CQFD.

Preuve 2 : on utilise la formule de Binet pouvant s'écrire un = (Φn+1 + (-1)nn+1)/5. En appliquant cette formule à un-1 et un+1, on remplace dans le 1er membre et on obtient un2 - un-1un+1 = [2(-1)n + (-1)n(Φ2 + 1/Φ2)]/5. Un petit calcul élémentaire conduit à Φ2 + 1/Φ2 = 3. Et 3 + 2 = 5...


de Sluse  Huygens
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