ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Le puits & la maison            Outils : Dérivation - Fonction irrationnelle à minimiser

Ce problème est une variante du problème La  Jeep et le lac où une solution trigonométrique est proposée.
Une étude algébrique est ici suggérée
.

Vous possédez une maison en rase campagne assez éloignée d'un puits et désirez réaliser une adduction d'eau au moyen d'une pompe électrique.

Vous pouvez suivre le chemin ou passer directement à travers champ. Mais le champ étant cultivé, il faudra enterrer les tuyaux plus profondément qu'en longeant le chemin : 

    100 m de canalisation vous coûteront 500 € à travers champ
      et 400 € en suivant le chemin.

    On donne : AC = 1000 m; BC = 200 m, ^ACB = 90°.

Sur quelle distance a-t-on intérêt à suivre la route ?

On a tendance à répondre : "il faut longer la route le plus possible"... Faux !

Indications : on note M le point où l'on quitte la route. Si l'on doit suivre la route le plus possible, la solution serait en C. Montrons qu'il n'en est rien : 

1°/  Utiliser l'hectomètre comme unité de distance et 100 € comme unité de coût et montrer que le coût s'exprime par :

2°/ Montrer que f'(x) est du signe de :

et, en remarquant que x - 10 est négatif, justifier que g(x) est du signe de :

-9x2 + 180x - 836

3°/ Établir le tableau de variation de f. En déduire le point M optimal.

Si vous séchez après avoir bien cherché :


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Éléments de réponse :

1°/  Avec les unités choisies, on a BC = 2 et, puisque AM = x, CM = 10 - x. L'usage du théorème de Pythagore dans le triangle rectangle MCB fournit facilement BC sous la forme d'un radical.

Le coût s'obtient en centaines d'euros, par f(x) = 4AM + 5MB, soit :

2°/ & 3°/ Le discriminant de g(x) est un carré parfait 242 = 576; en appliquant le signe du trinôme sur l'intervalle [0,10], on trouve aisément que f passe par un minimum absolu sur cet intervalle lorsque x = 10 - 8/3 = 22/3, soit lorsque AM 773 m.

   Coût (exact) optimal AM + MB  : 4600 €.
  
Coût AB à travers le champ : 5099 €. 
  
Coût AC + CB : 5000 €.

Comme quoi le chemin le plus court n'est pas toujours le moins cher !

On pourra reprendre l'exercice par une méthode trigonométrique cherchant à évaluer l'angle α optimal. Cet angle vérifie cos α = 4/5, ce qui fournit α 116°.


© Serge Mehl - www.chronomath.com