ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Résolution d'une équation de Pell dans le cas simple : x2 - 5y2 = 1

La recherche des solutions d'une équation de Pell, aussi dite de Fermat, selon lequel :

Tout nombre non carré est de telle nature qu'il y a infinis carrés qui, multipliant ledit nombre, font un carré moins 1.

est en général très difficile.

En termes d'équation, A est le nombre non carré et :

La résolution peut notamment requérir l'usage de développements en fraction continue de la racine carrée de A (méthode préconisée par Brouncker) et utilisée avec succès par Lagrange.

Nous allons rechercher une solution dans le cas particulier simple :

Lorsque l'objectif est de trouver au moins une solution, à la façon de Diophante, une technique qui s'avère efficace dans le cas général est la suivante :

Notons u et v deux inconnues auxiliaires entières en recherchant une solution sous la forme :

On obtient par remplacement :

Dans notre cas :

• en choisissant v = 1, nous recherchons une solution pour laquelle u² - 5 = ± 1. Ainsi u² = 4 ou u² = 6. Notre inconnue u étant entière, nous choisissons u² = 4 et par suite u = 2. D'où une solution :

(x,y) = (9,4)
 

• en choisissant v² = 16, nous serions conduits à u² = 81, soit à :

(x,y) = (161,72)

 !   Plus difficile, cette équation proposée et résolue par le mathématicien indien Bhaskara (1114-1185) :

dont une équation est x = 48842, y = 5967 que l'on peut résoudre par la méthode de Lagrange de développement de √67 en fraction continue.