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Résolution d'une équation de Pell dans le cas simple : x2 - 5y2 = 1

La recherche des solutions d'une équation de Pell, aussi dite de Fermat, selon lequel :

Tout nombre non carré est de telle nature qu'il y a infinis carrés qui, multipliant ledit nombre, font un carré moins 1.

est en général très difficile.

En termes d'équation, A est le nombre non carré et :

Ay2 = x2 - 1 ou bien : x2 - Ay2 = 1

La résolution peut notamment requérir l'usage de développements en fraction continue de la racine carrée de A (méthode préconisée par Brouncker) et utilisée avec succès par Lagrange.

Nous allons rechercher une solution dans le cas particulier simple :

x2 - 5y2 = 1

Lorsque l'objectif est de trouver au moins une solution, à la façon de Diophante, une technique qui s'avère efficace dans le cas général est la suivante :

Notons u et v deux inconnues auxiliaires entières en recherchant une solution sous la forme :

x = u2 + Av2 et y = 2uv

On obtient par remplacement :

(u2 - Av2)2 = 1

Dans notre cas :

(x,y) = (9,4)
 

(x,y) = (161,72)

 Plus difficile, cette équation proposée et résolue par le mathématicien indien Bhaskara (1114-1185) :

x2 = 67y2 + 1

dont une équation est x = 48842, y = 5967 que l'on peut résoudre par la méthode de Lagrange de développement de 67 en fraction continue.


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