ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 WILSON John,
anglais, 1741-1793 |
Après des études de droit, John Wilson, avocat et juge, étudia les mathématiques à Cambridge auprès de Waring. Professeur à Cambridge, il se bâtit une solide réputation avant de se tourner vers une nouvelle carrière de juriste.
En mathématiques, John Wilson est connu pour le théorème ci-dessous qui porte son nom, résultat d'arithmétique énoncé et utilisé sans démonstration (1770), tout comme le fit auparavant son professeur, spécialiste d'arithmétique. Il fut élu à la Royal Society en 1782.
C'est à Lagrange que l'on doit la preuve de ce théorème en 1773 dont on retrouve la trace chez Leibniz en 1682 et, selon A. P. Youschkevitch, chez Ibn al-Haytham vers l'an 1000 :
| Théorème de Wilson (1770), nombres premiers de Wilson : |
Si p est un entier naturel non nul, alors p divise (p - 1)! + 1 si et seulement si p est premier
Autrement dit :
p est premier
⇔ (p - 1)!
≡ - 1 [p]
la notation n!, factorielle n, désigne le produit des n
premiers entiers naturels non nuls :
n! = 1
×
2 ×
... ×
n
Par exemple : considérer le nombre premier 5 : le produit des entiers inférieurs à 5 est 2 × 3 x 4 = 24; ajouter 1 : 25 est divisible par 5. Considérer le nombre premier 7 : le produit des entiers inférieurs à 7 est 2 x 3 × 4 x 5 × 6 = 720; ajouter 1 : 721est divisible par 7 (quotient = 103).
Preuve :
Notons 1, 2, ... p-1 l'ensemble des éléments de Z/pZ (classes résiduelles modulo p) autres que 0. Leur produit est la classe de 1 × 2 × ... × p-1 = (p-1)! où "!" désigne la factorielle : n! = 1 × 2 × 3 × … × n.
» Concernant la notation factorielle : Kramp , Arbogast , Stirling
Comme p est premier Z/pZ est un corps dans lequel, excepté 1 ≡ 1 et p-1 ≡ -1, les éléments sont distincts de leurs inverses. Pour s'en convaincre : on peut écrire considérer l'équation x × x = 1 où est x son propre inverse :
x × x = 1 ⇔ (x + 1) × (x - 1) = 0 ⇔ x = - 1 = 0 ou x = 1 car en tant que corps, est un anneau intègre.
Il suit que, dans le produit 1 × 2 × ... × p-1 = (p-1)!, on peut, à l'exception de excepté 1 et p-1, regrouper les éléments par groupes de 2 dont le produit est 1. Finalement :
(p-1)! = 1 × 2 × ... × p-1 = 1 × (2 × ... × p-2) × p-1 = 1 × p-1 = p-1 = - 1
C'est bien dire que (p-1)! ≡ - 1 [p].
Sylvester et la généralisation de ce théorème : »
Corollaire :
Pour tout entier p premier, (p - 1)! ≡ p - 1 [p]
∗∗∗
niveau Sup, univ. Rennes (»
réf.2)
Nombres premiers de Wilson :
On qualifie ainsi un nombre premier p
vérifiant la congruence
(p - 1)!
≡ - 1 [p2].
Ces nombres sont rares : on ne connaît que 5, 13 et 563.
L'injustement appelé « petit » théorème de Fermat : »
➔ Pour en savoir plus :
Condorcet