ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

WILSON John, anglais, 1741-1793

Après des études de droit, John Wilson, avocat et juge, étudia les mathématiques à Cambridge auprès de Waring. Professeur à Cambridge, il se bâtit une solide réputation avant de se tourner vers une nouvelle carrière de juriste.

En mathématiques, John Wilson est connu pour le théorème ci-dessous qui porte son nom, résultat d'arithmétique énoncé et utilisé sans démonstration (1770), tout comme le fit auparavant son professeur, spécialiste d'arithmétique. Il fut élu à la Royal Society en 1782.

C'est à Lagrange que l'on doit la preuve de ce théorème en 1773 dont on retrouve la trace chez Leibniz en 1682 et, selon  A. P. Youschkevitch, chez Ibn  al-Haytham vers l'an 1000 :

Théorème de Wilson (1770), nombres premiers de Wilson :

Si p est un entier naturel non nul, alors p divise (p - 1)! + 1 si et seulement si p est premier

Autrement dit :

p est premier ⇔ (p - 1)! ≡ - 1 [p]
la notation n!,  factorielle n, désigne le produit des n premiers entiers naturels non nuls : n! = 1 × 2 × ... × n

Preuve :  

Notons 1, 2, ... p-1 l'ensemble des éléments de Z/pZ (classes résiduelles modulo p) autres que 0. Leur produit est la classe de  1 × 2 × ... × p-1 = (p-1)! où "!" désigne la factorielle : n! = 1 × 2 × 3 ×  … × n.

»  Concernant la notation factorielle : Kramp , Arbogast , Stirling

Comme p est premier Z/pZ est un corps dans lequel, excepté 1 ≡ 1 et p-1 ≡ -1, les éléments sont distincts de leurs inverses. Pour s'en convaincre : on peut écrire considérer l'équation  x × x  = 1 où est x son propre inverse :

x × x  = 1  ⇔  (x + 1) × (x - 1) = 0  ⇔  x = - 1 = 0  ou  x = 1  car en tant que corps, est un anneau intègre.

Il suit que, dans le produit 1 × 2 ×  ... × p-1 = (p-1)!, on peut, à l'exception de excepté 1 et p-1, regrouper les éléments par groupes de 2 dont le produit est 1. Finalement :

(p-1)! = 1 × 2 ×  ... × p-1 = 1 × (2 ×  ... ×  p-2) × p-1 = 1 × p-1 = p-1 = - 1

C'est bien dire que (p-1)! ≡ - 1 [p].

Corollaire :   

Pour tout entier p premier, (p - 1)!  ≡ p - 1 [p]

Démonstration plus élémentaire (mais plus longue) du théorème : »

niveau Sup, univ. Rennes (» réf.2)
http://webusers.imj-prg.fr/~antoine.chambert-loir/enseignement/2005-06/a2/td4.pdf  (» §3)

Nombres premiers de Wilson :   

On qualifie ainsi un nombre premier p vérifiant la congruence (p - 1)! ≡ - 1 [p2].
Ces nombres sont rares : on ne connaît que 5, 13 et 563.

L'injustement appelé « petit » théorème de Fermat : »


    Pour en savoir plus :

  1. Les mathématiques arabes du 8e au 15e siècle,  Adolf  P. Youschkevitch, Ed. Vrin - CNRS - Paris -1976
  2. Exercices & problèmes, congruences, permutations (niveau licence) avec corrections (pour certains), par A. Chambert-Loir (univ. Paris 7) :
    http://webusers.imj-prg.fr/~antoine.chambert-loir/enseignement/2005-06/a2/index.xhtml


Lagrange  Condorcet
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