ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 

Décomposition d'un entier naturel en somme de deux ou trois cubes
    
» Cas de deux cubes

Tout entier naturel n non nul peut-il s'écrire sous la forme x3 + y3 + z3  (x, y et z entiers non nuls) ?

Il s'agit aujourd'hui encore d'un problème ouvert. Des stratégies appliquées à certains types d'entiers ont été mis au point mais aucun algorithme général n'a été exhibé (» voir par exemple réf.6b). Pour un entier n donné, la recherche d'une solution (x,y,z) s'avère généralement stérile, d'autant que n est grand, si l'on se limite aux entiers naturels, et ce malgré l'aide d'ordinateurs puissants. On se place alors dans l'ensemble Z* des entiers relatifs non nuls. C'est ainsi que pour les 100 premiers entiers naturels, la recherche s'est terminée victorieusement en 2019, comme on va le voir ci-après.

  Accepter 0 pour valeur de x, y et/ou z, devient une décomposition en somme de deux cubes non nuls, voire un seul..., comme 23 = 03 + 13 + 13 et 8 = 03 + 03 + 23. On sort du problème étudié.
  Par souci de simplification de l'écriture, une somme algébrique comme 2 = 73 + (-6)3 + (-5)3 peut s'écrire 2 = 73 - 63 - 53.

Quelques exemples de décomposition en somme de trois cubes :


Montrer que pour n = 2, on a une infinité de décomposition en développant : (1 + 6t3)3 + (1 - 6t3)3, t ∈ N
.
Par exemple : si t = 1000, 60013 + (-5999)3 - 6003 = 2
 

En se limitant à n ≤ 100, pas de solutions pour les entiers 4, 5, 13, 14, 22, 23, 31, 32, 40, 41, 49, 50, 58, 59, 67, 68, 76, 77, 85, 86, 94 et 95 car :

Un entier congru à 4 ou 5 modulo 9 ne peut pas s'écrire comme somme de trois cubes
(» congruences arithmétiques)

Preuve : soit x ∈ Z. On voit ci-dessous que les restes possibles, modulo 9, de la division euclidienne de x3 par 9 sont 0 et  ± 1. On en déduit que les restes possibles de la somme n = x3 + y3 + z3 sont 0, ± 1 (1 ou 8),  ± 2 (2 ou 7) et  ± 3 (3 ou 6) : la somme n de trois cubes ne peut pas être congru à 4 ou 5.

restes de x ÷  9

1 2 3 4 5 6 7 8 ≡ -1
restes de x2 ÷  9 1 4 0 7 7 0 4 1
restes de x3 ÷  9 1 8 ≡ -1 0 1 8 ≡ -1 0 1 8 ≡ -1

Autrement dit, vu que 5 = - 4 [9]

Une condition nécessaire pour qu'un entier naturel n s'écrive comme somme de trois cubes est n ≠ ± 4 [9].

On ne sait toujours pas si cette condition est suffisante pour assurer une décomposition en trois cubes. Elle permet en tout cas d'éliminer des cas de recherche inutiles.

La recherche relative aux 78 premiers entiers naturels susceptibles d'être décomposables en somme de 3 cubes s'est achevée fin 2019 grâce à l'entêtement d'un mathématicien britannique, Andrew R. Booker, professeur à l'université de Bristol : 33 et 42 résistaient encore cette année là.

74 = (- 284 650 292 555 885)3 + (283 450 105 697 727)3 + (66 229 832 190 556)(» réf.4)

33 = (8 866 128 975 287 528)3 + (- 8 778 405 442 862 239)3 + (- 2 736 111 468 807 040)3

42 = (- 80 538 738 812 075 974)3 + (80 435 758 145 817 515)3 + (12 602 123 297 335 631)3

et la découverte de ce résultat nécessita un demi-million d'ordinateurs de particuliers à travers le monde utilisés pendant les heures d'inutilisation de ces derniers (» Futura Sc., réf.5) !

   On peut ainsi noter ce résultat fort intéressant :

les 78 entiers naturels n,  n ≤ 100, non congrus à 4 ou 5 modulo 9 (soit ± 4 modulo 9) possèdent
au moins une décomposition en somme de trois cubes
(» site cr.yp.to : réf.3).

Autrement dit, la condition nécessaire d'existence d'une décomposition énoncée au début de cette étude s'avère suffisante si n ≤ 100. Au-delà de n = 100, ce joli résultat est entaché d'incertitudes : par exemple et parmi de nombreux autres, 975 = 3 [9], donc distinct de ± 4 modulo 9, mais pas de décomposition trouvée avec max(|x|, |y|, |z|) = 1015 (» réf.3).

En 1955, Mordell, qui s'intéressait encore à sujet depuis les années 1940, admettait ne pas trouver de décompositions de 3 autres que 13 + 13 + 13 et 43 + 43 + (-5)3 (» réf.6a), son équipe se limitant à max(|x|, |y|, |z|) ≤ 3200. Pas étonnant, car une solution pas vraiment triviale, découverte par Booker et Sutherland en 2020 (» réf.1b), a nécessité max (|x|, |y|, |z|) = 1021 :

5699368212219623807203  + (- 569936821113563493509)3 + (- 472715493453327032)3  = 3

Décomposition d'un entier naturel en somme de deux cubes :

Un entier naturel n non nul peut-il s'écrire sous la forme x3 + y3 (x et y entiers non nuls) ?

à la manière du cas précédent, on montrera facilement ce résultat :

Un entier congru à 3, 4, 5 ou 6 modulo 9 ne peut pas s'écrire comme somme de deux cubes

Autrement dit :

Une condition nécessaire pour qu'un entier naturel n s'écrive comme somme de deux cubes est que son reste dans la division euclidienne par 9 soit égal à 0, 1, 2, 7 ou 8, ce qui équivaut à n = 9k, 9k ± 1, 9k ± 2.

En vertu de l'identité remarquable bien connue a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2), on a :

x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy +y2)       (f)

On peut supposer x > 0 et y > 0 : n = x3 + y3 ou bien x > 0 et y < 0 : n = x3 + (- y)3 = x3 - y3 (somme de deux cubes dans Z, différence de deux cubes dans N).

 i   On se place désormais dans le cas x ≥ 1 avec y ≥ 2 ou y < 0 :

Proposition :   

Dans la décomposition (f) : x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy +y2) , on a x + y ≤  x2 - xy + y2.

Preuve : cette inégalité peut s'écrire  y2 - y(x + 1) + x2 - x ≥ 0; le discriminant est Δ = 4 - 3(x - 1)2.

Revenons à la factorisation (f) : x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy +y2). à la manière de Sutherland & Booker (» réf.1b, page 6/29), posons r = x + y et s = x2 - xy + y2. En remplaçant y par r - x, on a :

n = rs, r ≤ s  avec  3x2 - 3rx + r2 - s = 0, y = r - x       (rs)

Par suite, connaissant la décomposition en facteurs premiers de l'entier n, on teste les diverses factorisations du type n = r × s, r ≤ s, l'équation du second degré permet mesure de connaître x puis y à condition que ses racines soient dans Z, dont l'une positive.

   La somme des racines étant 3r/3 = r = x + y, l'équation (rs) fournit x et y dans les conditions exposées. Le produit des racines est (r2 - s)/3 : lorsque  r2 - s < 0, la décomposition sera une différence de deux cubes.

 i  Pour la petite histoire, 1729 est lié à Ramanujan et G. Hardy : ce dernier était venu en taxi pour rencontrer le jeune mathématicien indien. Le véhicule portait le no 1729. A son arrivée, il en fit par à Ramanujan en lui disant n'avoir rien trouvé d'intéressant à ce nombre en y réfléchissant le long du trajet. Mais si, lui dit-il, c'est le plus petit entier décomposable de deux façons en une somme deux cubes. Depuis, on appelle nombres de Hardy-Ramanujan ou, plaisamment, nombres Taxicab d'ordre k un entier se décomposant de k façons distinctes en somme de deux cubes (» réf.13).

 !   Noter qu'un entier peut admettre des décompositions en somme de deux cubes et en somme de trois cubes; trois exemples :


    Pour en savoir plus :

  1. a) Cracking the problem with 33, par Andrew R. Booker : https://people.maths.bris.ac.uk/~maarb/papers/cubesv1.pdf
    b) Sums of three cubes (Shuterland & Booker), mai 2020 : https://math.mit.edu/~drew/NTW2020.pdf

  2. Table n < 100 (en acceptant 0) : http://www.asahi-net.or.jp/~KC2H-MSM/mathland/math04/matb0100.htm

  3. Table 1 < n < 1000 (antérieures à 2016) avec les solutions distinctes trouvées pour un même entiers : http://cr.yp.to/threecubes/19990801

  4. Somme de trois cubes sur Wikipedia : https://fr.wikipedia.org/wiki/Somme_de_trois_cubes
  5. a) Le problème des trois cubes enfin résolu, un article de Nathalie Mayer (sept. 2019) sur Futura Sciences :
    https://www.futura-sciences.com/sciences/actualites/mathematiques-mathematiques-probleme-trois-cubes-...
    b) Problème des 3 cubes, il n'en reste plus  qu'un, sur le site de Pour la Science :
    https://www.pourlascience.fr/sd/mathematiques/probleme-des-3-cubes-il-nen-reste-plus-quun-16573.php
  6. a) Solutions of the diophantine equation x3 + y3 = z3 - d, par V. Gardiner, R. Lazarus et P. Stein, univ. Californie (1963) :
    https://www.ams.org/journals/mcom/1964-18-087/S0025-5718-1964-0175843-9/S0025-5718-1964-0175843-9.pdf
    b) On solving the diophantine equation x3 + y3 + z3 = k on a vector computer, par D. Heath-Brown, W. Lioen et H. Te Riele (1993)  :
    https://www.ams.org/journals/mcom/1993-61-203/S0025-5718-1993-1202610-5/S0025-5718-1993-1202610-5.pdf
  7. Sur le site de Gérard Villemin : http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/TabMat.htm#Partition
  8. Sur le site de René-Louis clerc :  http://sayrac.rlc.free.fr/2cubes.php et http://sayrac.rlc.free.fr/3cubes.php
  9. Numbers that are the sum of 3 cubes sur OEIS Foundation (N. J. A. Sloane) : https://oeis.org/A060464 & https://oeis.org/A003072
  10. Newer sums of three cubes, par Sander G. Huisman (univ. Cornell, USA), avril 2016 : https://arxiv.org/pdf/1604.07746.pdf
  11. Characterizing the sum of two cubes, par Kevin A. Broughan : https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL6/Broughan/broughan25.pdf
  12. Numbers that are the sum of 2 positive cubes sur OEIS Foundation (N. J. A. Sloane) : https://oeis.org/A003325
  13. The fifth Taxicab number is 48 988 659 276 962 496 par David W. Wilson (univ. Waterloo, Canada) :
    https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/wilson10.html#RDR91
  14. Numbers that are not the sum of distinct positive cubes : https://oeis.org/A001476


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