ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 

Décomposition d'un entier naturel en somme de deux ou trois cubes      » Cas de deux cubes

Tout entier naturel n non nul peut-il s'écrire sous la forme x³ + y³ + z³  (x, y et z entiers non nuls) ?

Il s'agit aujourd'hui encore d'un problème ouvert. Des stratégies appliquées à certains types d'entiers ont été mis au point mais aucun algorithme général n'a été exhibé (» voir par exemple réf.6b). Pour un entier n donné, la recherche d'une solution (x,y,z) s'avère généralement stérile, d'autant que n est grand, si l'on se limite aux entiers naturels, et ce malgré l'aide d'ordinateurs puissants. On se place alors dans l'ensemble Z* des entiers relatifs non nuls. C'est ainsi que pour les 100 premiers entiers naturels, la recherche s'est terminée victorieusement en 2019, comme on va le voir ci-après.

♦  Accepter 0 pour valeur de x, y et/ou z, devient une décomposition en somme de deux cubes non nuls, voire un seul..., comme 2³ = 0³ + 1³ + 1³ et 8 = 0³ + 0³ + 2³. On sort du problème étudié.
♦  Par souci de simplification de l'écriture, une somme algébrique comme 2 = 7³ + (-6)³ + (-5)³ peut s'écrire 2 = 7³ - 6³ - 5³.

Quelques exemples de décomposition en somme de trois cubes :

• 2 = 7³ - 6³ - 5³  ; 3 = 1³ + 1³ + 1³ = 4³ + 4³ - 5³ ; 6 = (-1)³ + (-1)³ + 2³ ; 7 = 104³ + 32³ - 105³

• 9 = 217³ - 216³ - 52³ ; 10 = (-3)³ + (-3)³+ 4³; ... ; 100 = 78³ + 46³ - 83³.

∗∗∗
Montrer que pour n = 2, on a une infinité de décomposition en développant : (1 + 6t³)³ + (1 - 6t³)³, t ∈ N.
Par exemple : si t = 1000, 6001³ + (-5999)³ - 600³ = 2
 

En se limitant à n ≤ 100, pas de solutions pour les entiers 4, 5, 13, 14, 22, 23, 31, 32, 40, 41, 49, 50, 58, 59, 67, 68, 76, 77, 85, 86, 94 et 95 car :

Un entier congru à 4 ou 5 modulo 9 ne peut pas s'écrire comme somme de trois cubes
(» congruences arithmétiques)

Preuve : soit x ∈ Z. On voit ci-dessous que les restes possibles, modulo 9, de la division euclidienne de x³ par 9 sont 0 et  ± 1. On en déduit que les restes possibles de la somme n = x³ + y³ + z³ sont 0, ± 1 (1 ou 8),  ± 2 (2 ou 7) et  ± 3 (3 ou 6) : la somme n de trois cubes ne peut pas être congru à 4 ou 5.

Autrement dit, vu que 5 = - 4 [9]

Une condition nécessaire pour qu'un entier naturel n s'écrive comme somme de trois cubes est n ≠ ± 4 [9].

On ne sait toujours pas si cette condition est suffisante pour assurer une décomposition en trois cubes. Elle permet en tout cas d'éliminer des cas de recherche inutiles.

La recherche relative aux 78 premiers entiers naturels susceptibles d'être décomposables en somme de 3 cubes s'est achevée fin 2019 grâce à l'entêtement d'un mathématicien britannique, Andrew R. Booker, professeur à l'université de Bristol : 33 et 42 résistaient encore cette année là.

• En 2016, le physicien et mathématicien Sander G. Huisman (université de Twente, Pays-Bas) découvrait la décomposition de 74 après plus de 100 000 heures de calcul, en poussant les recherches de |x|, |y| et |z| jusqu'à 10¹⁵ :

74 = (- 284 650 292 555 885)³ + (283 450 105 697 727)³ + (66 229 832 190 556)³  (» réf.4)

• Pour n = 33, Booker établit un programme de recherches sophistiqué (» réf.1a) en poussant à max(|x|, |y|, |z|) ≤ 10¹⁶ et obtient fructueusement en mars 2019 :

33 = (8 866 128 975 287 528)³ + (- 8 778 405 442 862 239)³ + (- 2 736 111 468 807 040)³

• Pour n = 42, Booker et Andrew V. Sutherland du MIT poussent victorieusement jusqu'à 10¹⁷ avec un nouvel algorithme approprié et trouvent, à l'automne de la même année : (» réf.1b)

42 = (- 80 538 738 812 075 974)³ + (80 435 758 145 817 515)³ + (12 602 123 297 335 631)³

et la découverte de ce résultat nécessita un demi-million d'ordinateurs de particuliers à travers le monde utilisés pendant les heures d'inutilisation de ces derniers (» Futura Sc., réf.5) !

 ➔  On peut ainsi noter ce résultat fort intéressant :

les 78 entiers naturels n,  n ≤ 100, non congrus à 4 ou 5 modulo 9 (soit ± 4 modulo 9) possèdent
au moins une décomposition en somme de trois cubes (» site cr.yp.to : réf.3).

Autrement dit, la condition nécessaire d'existence d'une décomposition énoncée au début de cette étude s'avère suffisante si n ≤ 100. Au-delà de n = 100, ce joli résultat est entaché d'incertitudes : par exemple et parmi de nombreux autres, 975 = 3 [9], donc distinct de ± 4 modulo 9, mais pas de décomposition trouvée avec max(|x|, |y|, |z|) = 10¹⁵ (» réf.3).

En 1955, Mordell, qui s'intéressait encore à sujet depuis les années 1940, admettait ne pas trouver de décompositions de 3 autres que 1³ + 1³ + 1³ et 4³ + 4³ + (-5)³ (» réf.6a), son équipe se limitant à max(|x|, |y|, |z|) ≤ 3200. Pas étonnant, car une solution pas vraiment triviale, découverte par Booker et Sutherland en 2020 (» réf.1b), a nécessité max (|x|, |y|, |z|) = 10²¹ :

569936821221962380720³  + (- 569936821113563493509)³ + (- 472715493453327032)³  = 3

Un entier naturel n non nul peut-il s'écrire sous la forme x³ + y³ (x et y entiers non nuls) ?

à la manière du cas précédent, on montrera facilement ce résultat :

Un entier congru à 3, 4, 5 ou 6 modulo 9 ne peut pas s'écrire comme somme de deux cubes

Autrement dit :

Une condition nécessaire pour qu'un entier naturel n s'écrive comme somme de deux cubes est que son reste dans la division euclidienne par 9 soit égal à 0, 1, 2, 7 ou 8, ce qui équivaut à n = 9k, 9k ± 1, 9k ± 2.

 i   On se place désormais dans le cas x ≥ 1 avec y ≥ 2 ou y < 0 :

Proposition :   

Dans la décomposition (f) : x³ + y³ = (x + y)(x² - xy +y²) , on a x + y ≤  x² - xy + y².

Preuve : cette inégalité peut s'écrire  y² - y(x + 1) + x² - x ≥ 0; le discriminant est Δ = 4 - 3(x - 1)².

• Si x = 1, Δ = 4, l'inéquation se réduit à y² - 2y = y(y - 2) ≥ 0, c'est à dire à y < 0 ou y ≥ 2, ce qui est bien le cas.

• Si x = 2, Δ = 1, l'inéquation se réduit à y² - 3x + 2 = (y - 1)(y - 2) ≥ 0, c'est à dire y ≥ 2.

• Si x ≥ 3, Δ < 0 : y² - y(x + 1) + x² - x ne possède pas de solution et garde le signe de y² > 0 pour tout y on nul; la propriété est vérifiée.

Revenons à la factorisation (f) : x³ + y³ = (x + y)(x² - xy +y²). à la manière de Sutherland & Booker (» réf.1b, page 6/29), posons r = x + y et s = x² - xy + y². En remplaçant y par r - x, on a :

n = rs, r ≤ s  avec  3x² - 3rx + r² - s = 0, y = r - x       (rs)

Par suite, connaissant la décomposition en facteurs premiers de l'entier n, on teste les diverses factorisations du type n = r × s, r ≤ s, l'équation du second degré permet mesure de connaître x puis y à condition que ses racines soient dans Z, dont l'une positive.

 ➔  La somme des racines étant 3r/3 = r = x + y, l'équation (rs) fournit x et y dans les conditions exposées. Le produit des racines est (r² - s)/3 : lorsque  r² - s < 0, la décomposition sera une différence de deux cubes.

• Exemple 1 : n = 91 : n ± 1 n'est pas un cube; 91 = 7 × 13. Posons r = 7, s = 13. On est amené à résoudre 3x² - 21x + 36 = 0; les solutions sont x = 4 et x = 3. On en déduit 91 = 4³ + 3³. Inutile de tester r = 13, s = 7 (r > s).

• Exemple 2 : n = 1729 : n ± 1 n'est pas un cube; 1729 = 7 × 13 × 19.
  Testons r = 7, s = 13 × 19 = 247. On obtient 3x² - 21x - 198 = 0. Δ = 2817 n'est pas un carré parfait; à rejeter
  Testons r = 13, s = 7 × 19 = 247. On obtient 3x² - 39x + 36 = 0. Δ = 1089 = 33². Ce qui fournit x = 1 ou x = 12 : 1729 = 1³ + 12³.
  Testons r = 19, s = 7 × 13 = 91. On obtient 3x² - 57x + 270 = 0. Δ = 9 = 3². Ce qui fournit x = 9 ou x = 10 : 1729 = 9³ + 10³.
  Inutile de tester les autres combinaisons : on aurait r > s.

 i  Pour la petite histoire, 1729 est lié à Ramanujan et G. Hardy : ce dernier était venu en taxi pour rencontrer le jeune mathématicien indien. Le véhicule portait le n^o 1729. A son arrivée, il en fit par à Ramanujan en lui disant n'avoir rien trouvé d'intéressant à ce nombre en y réfléchissant le long du trajet. Mais si, lui dit-il, c'est le plus petit entier décomposable de deux façons en une somme deux cubes. Depuis, on appelle nombres de Hardy-Ramanujan ou, plaisamment, nombres Taxicab d'ordre k un entier se décomposant de k façons distinctes en somme de deux cubes (» réf.13).

• Exemple 3 : n = 217 : n - 1 = 216 = 6³. On peut donc écrire 217 = 6³ + 1³.

• Exemple 4 : n = 819 : n ± 1 n'est pas un cube; la décomposition en facteurs premiers conduit à 819 = 3² × 7 × 13.
  Testons r = 3, s = 273. On obtient 3x² - 9x - 264 = 0. x = 11 ou x = -8 : 819 = 11³ -8³.
  Les cas r = 7, 9 et 13 ne conduisent pas à des solutions entières.
  Testons r = 3 × 7 = 21, s = 39. On obtient 3x² - 63x + 402 = 0. Pas de solution.
  Les autres combinaisons conduisent à  r > s : à rejeter.

• Exemple 5 : n = 55 : n ± 1 n'est pas un cube; 55 = 5 × 11. Posons r = 5, s = 11. On est amené à résoudre 3x² - 15x - 96 = 0; les solutions ne sont pas entières. On en déduit que 55 ne s'exprime pas comme somme ou différence de deux cubes. C'est par contre une somme de trois cubes dont parmi d'autres décompositions : 55 = 4³ -1³ - 2³ = 10³ - 6³ - 9³ (» réf.3).

 !   Noter qu'un entier peut admettre des décompositions en somme de deux cubes et en somme de trois cubes; trois exemples :

• 7 = 2³ - 1³ = 32³ + 104³ - 105³;

• 19 = 3³ - 2³ = 26³ + 76³ - 77³;

• 56 = 4³ - 2³ = 31³ + 42³ - 47³.