ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

MOREAU de MAUPERTUIS  Pierre Louis , français, 1698-1759

Mousquetaire, capitaine des dragons, mathématicien, physicien, biologiste, ce grand savant s'initia seul aux mathématiques et fut membre de l'Académie royale des sciences (1725) âgé seulement de 25 ans.

En 1728, il se rend à Londres. Convaincu des idées philosophiques et scientifiques de Newton, Maupertuis contribuera à les faire reconnaître en France au détriment de celles de Descartes. Peu sociable et critique à l'égard de ses semblables, à son retour d'expédition (1737, voir ci-après), il formula de sévères diatribes à l'encontre des calculs géodésiques de ses prédécesseurs. 

Maupertuis fut élu à l'Académie française ainsi qu'à la Société royale de Londres en 1743. L'année suivante, il se rend à Berlin à l'invitation du roi de Prusse Frédéric le Grand afin de diriger l'Académie des sciences de Berlin : ce ne fut pas du goût de celle de Paris qui lui supprima sa pension d'académicien...

à Berlin, il s'en prend à Koenig qui lui conteste la paternité de son principe de moindre action, puis à Voltaire, ce dernier soutenant le savant allemand, qui rétorquera dans Micromégas (1752). Maupertuis rentra en France en 1756. Eu égard à l'ensemble de sa carrière, il retrouva sa place à l'Académie. Très malade, isolé, il se rend en Suisse, à Bâle, chez les Bernoulli avec lesquels il était resté ami et où il resta jusqu'à sa mort.

Maupertuis et les expéditions scientifiques :

Maupertuis est à l'origine de l'expédition française en Laponie (1736) chargée de vérifier l'aplatissement des pôles soutenu par Newton, pendant que, au Pérou, le géodésien Charles Marie de La Condamine (1701-1774) et le géophysicien Pierre Bouguer (1698-1758) effectuaient de nouvelles mesures méridiennes avec la participation de Clairaut.

Depuis Maupertuis, de nombreuses expéditions et des calculs plus précis furent entrepris avec, depuis 1957, l'aide des satellites artificiels :

»  Méchain , Delambre                Géodésie et triangulation : » 

Le principe de moindre action :

C'est dans le cadre de travaux en optique, que Maupertuis énonce (1744) le célèbre principe de moindre action, dont la paternité revient à héron d'Alexandrie 16 siècles auparavant, et que Fermat, Koenig et Leibniz avaient également avancé sous l'appellation principe d'économie naturelle, et qui deviendra avec les travaux d'Euler, Lagrange , Jacobi et surtout de Hermann L. von Helmholtz (» ci-dessous), le principe de la conservation de l'énergie :

Lorsqu'il arrive quelque changement dans la Nature, la quantité d'action nécessaire pour ce changement est la plus petite qu'il soit possible.

 i  Hermann L. von Helmholtz : (physiologiste et physicien allemand, 1821-1894), auquel on doit, en particulier, la notion d'énergie potentielle, les premiers principes de la thermodynamique, la théorie des tuyaux sonores). Équation de Helmholtz : ∇2U + k2U = 0.   » notion de potentiel

En particulier, le chemin parcouru par la lumière (et plus généralement par tout point subissant un champ de forces), est celui qui minimise sa quantité d'action, ne signifiant pas nécessairement le chemin le plus court ou de moindre temps. Maupertuis en déduit alors une formule erronée des lois de la réfraction : on sait en effet, depuis Jacobi, que ce principe ne peut s'appliquer que dans un milieu isotrope (possédant les mêmes propriétés dans toutes les directions).

Le principe de moindre action ne s'applique donc pas au problème de la réfraction de la lumière (traversant des milieux de densités distinctes) car l'énergie "dépensée" n'est pas la même dans les deux milieux. Il s'agit en fait d'un principe de moindre temps (minimisation du temps de parcours).

»  Maxwell , Klein , Alhazen (al Haytham) , Descartes

 ➔   Selon Maupertuis, la quantité d'action A est régie par la formule dA = mv.dl (masse × vitesse × déplacement). La quantité d'action peut être définie, selon Lagrange et Jacobi de la façon suivante. Posons pour une particule ou un système donné L = T - U, L est le lagrangien du système, T est son énergie cinétique et U son énergie potentielle (concepts dû à Lagrange, développés et ainsi nommés par le physicien écossais Rankine au 19è siècle), L est une fonction du temps et la quantité d'action A du système entre les instants t1 et t2 est alors :

Le principe de moindre action exprime alors que pour passer d'un état à l'instant t1 à un état à l'instant t2, la "nature" emprunte le chemin rendant minimale l'intégrale A. Il s'agit donc de rechercher les valeurs stationnaires de A (extrema) : c'est un problème variationnel, c'est à dire relevant du calcul des variations.

Ce principe explique le problème de la réfraction cher à Descartes et induit que le chemin suivi par la lumière n'est pas nécessairement le chemin le plus rapide ou le plus court (comme l'affirma Fermat) mais celui minimisant sa quantité d'action (proportionnelle à la vitesse et à la distance parcourue). La théorie ondulatoire de la lumière développée par Huygens apporta une réponse aux incertitudes de l'époque sur ce point.

Maupertuis devient en 1746, à la demande de Frédéric le Grand, roi de Prusse, président de l'Académie royale de Berlin (où Euler sera responsable des mathématiques et de la physique) dont il chassa Koenig qui lui contestait son principe...

Maupertuis et la courbe du chien (trajectoire d'interception)... :

On doit à Maupertuis une solution de ce qu'on appelle les courbes de poursuite (depuis Pierre Bouguer), également dite courbes du chien :


Étude de la courbe du chien :  »

Notion de loxodromie :

Grand voyageur, Maupertuis ne pouvait pas ignorer le problème de la navigation optimale, le chemin loxodromique, qu'il rencontra d'ailleurs dans son étude de la parallaxe de la Lune. Sur une sphère, un chemin coupant les méridiennes (et les parallèles) sous un angle constant est une loxodromie, du grec loxos = oblique et dromos = course.

C'est au mathématicien portugais Nunes que l'on doit la première étude du cabotage, étude du meilleur chemin pour conduire un vaisseau (à distinguer du cabotage consistant à naviguer près des côtes). Selon d'Alembert, le meilleur traité sur la question fut signé par Maupertuis. Il écrit dans son Encyclopédie :

(...) M. de Maupertuis a traité le même sujet d'une manière plus élégante et plus commode pour la pratique dans un mémoire qui, quoique assez court, renferme toute la théorie du capotage, dans l'hypothèse de la terre aplatie. Ce mémoire, imprimé parmi ceux de l'académie des Sciences de 1744, est intitulé Traité de la loxodromie. On y réduit tout le capotage à ces quatre problèmes, dont il donne la solution en très peu de pages :

  1. Étant connue la longueur de la route faite sur un même cercle parallèle à l'équateur, trouver la différence en longitude; ou réciproquement, étant connue la différence en longitude sur le même parallèle, trouver la longueur de l'arc du parallèle;

  2. Étant connue la latitude d'un lieu de la surface de la terre, trouver l'arc du méridien intercepté entre l'équateur et ce lieu;

  3. Étant connus l'angle de la route et la latitude d'un lieu, trouver l'arc de la loxodromie terminé par l'équateur et ce lieu;

  4. Étant connus l'angle de la route et la latitude d'un lieu, trouver la différence en longitude entre ce lieu et le point où la loxodromie coupe l'équateur.

M. de Maupertuis donne des formules algébriques pour résoudre ces questions et fait voir comment on y peut rapporter tous les problèmes qu'on peut proposer sur la navigation. Il serait à souhaiter qu'on réduisît ces formules algébriques en tables toutes calculées pour l'utilité et la commodité des pilotes.

Loxodromie et orthodromie : »

Maclaurin  Bernoulli Daniel
© Serge Mehl - www.chronomath.com