ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Un problème bestial...      niveau 2nde (trinôme du second degré)

Un éleveur veut construire dans son pré un parc à bestiaux. Il projette de lui donner une forme rectangulaire de 50 m de longueur sur 30 m de largeur. Il achète alors la longueur de clôture nécessaire à ce projet.

Noter l(x) = 30 + x, la mesure en mètres de la nouvelle largeur. L'objectif est de calculer x afin d'obtenir une superficie maximale.

 ➔  La figure ci-dessous est générée au moyen du logiciel de géométrie dynamique Cabri Géomètre, dans sa version CabriJava pour Internet :

Si votre navigateur accepte les applets Java (» extension CheerpJ) :
Tirer ou pousser la poignée P pour constater les variations de l'aire en fonction de x

Remarque :     

x peut être négatif : cela signifierait qu'il faut diminuer la largeur et augmenter d'autant la longueur car l''hypothèse selon laquelle on ne modifie pas la longueur de la clôture signifie que le périmètre du parc doit rester constant.

Complète la solution proposée ci-dessous :     

• Le demi-périmètre doit donc rester égal à .........

• Par conséquent la longueur devient :

L(x) = ........ - (.............) ........ -  ........ - ....... = 50 - x

• L'aire S(x) de l'enclos est donc (50 - x)(.........) = 1500 + 50x - ...... - ....... = - x² + .....................
   

• En développant l'expression  - (x - 10)² + 1600, je trouve :
  - (...... - ....... + 100) + 1600 =  - x² + ...................... C'est donc S(x).

• S(x) =  - (x - 10)² + 1600 est donc maximale lorsque x = .......... car pour cette valeur le terme
  négatif - (x - 10)² disparaît.

• On a alors l = L = ....... m et la superficie est ................. : on a gagné 100 m².

 ➔   On retrouve dans ce problème que le produit de deux nombres dont la somme est constante (ici le demi-périmètre) est maximum si ces nombres sont égaux.

Si tu sèches après avoir bien cherché : ››››

• Le demi-périmètre doit donc rester égal à 80 m.

• Par conséquent la longueur devient :

L(x) = 80 - (30 + x) = 80 - 30 - x = 50 - x

• L'aire S(x) de l'enclos est donc (50 - x)(30 + x) = 1500 + 50x - 30x - x² = - x² + 20x + 1500
   

• En développant l'expression  - (x - 10)² + 1600, je trouve :
  - (x² - 20x +100) + 1600  = - x² + 20x + 1500. C'est donc S(x).

• S(x) =  - (x - 10)² + 1600 est donc maximale lorsque x = 10 car pour cette valeur le terme négatif - (x - 10)² disparaît.
   

• On a alors l = L = 40 m et la superficie est 1 600 m² : on a gagné 100 m².

 ➔   On retrouve dans ce problème que le produit de deux nombres dont la somme est constante (ici le demi-périmètre) est maximum si ces nombres sont égaux.