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Un éleveur veut construire dans son pré un parc à bestiaux. Il projette de lui donner une forme rectangulaire de 50 m de longueur sur 30 m de largeur. Il achète alors la longueur de clôture nécessaire à ce projet.
Ayant mûrement réfléchi, il se demande s'il ne pourrait pas, sans modifier la longueur de la clôture obtenir un parc de plus grande superficie en modifiant les longueur et largeur initialement projetées. Pourrais-tu l'aider ?
Noter l(x) = 30 + x, la mesure en mètres de la nouvelle largeur. L'objectif est de calculer x afin d'obtenir une superficie maximale.
➔ La figure ci-dessous est générée au moyen du logiciel de géométrie dynamique Cabri Géomètre, dans sa version
CabriJava pour Internet :
Si votre navigateur accepte les applets
Java
(»
extension CheerpJ) :
Tirer ou pousser la poignée
P pour constater les variations
de l'aire en fonction de x
Remarque :
x peut être négatif : cela signifierait qu'il faut diminuer la largeur et augmenter d'autant la longueur car l''hypothèse selon laquelle on ne modifie pas la longueur de la clôture signifie que le périmètre du parc doit rester constant.
Complète la solution proposée ci-dessous :
Par conséquent la longueur devient :
L(x) = ........ - (.............) ........ - ........ - ....... = 50 - x
En
développant l'expression - (x - 10)2 + 1600, je trouve :
- (...... - ....... + 100) + 1600
= - x2
+ ......................
C'est donc S(x).
S(x)
= - (x - 10)2 + 1600 est donc maximale lorsque x =
.......... car pour cette valeur le terme
négatif - (x - 10)2 disparaît.
On a alors l = L = ....... m et la superficie est ................. : on a gagné 100 m2.
➔ On retrouve dans ce problème que le produit de deux nombres dont la somme est constante (ici le demi-périmètre) est maximum si ces nombres sont égaux.
Si tu sèches après avoir bien cherché : ››››
Réponses : |
Par conséquent la longueur devient :
L(x) = 80 - (30 + x) = 80 - 30 - x = 50 - x
En
développant l'expression - (x - 10)2 + 1600, je trouve :
- (x2 -
20x +100) + 1600
=
- x2
+ 20x + 1500. C'est donc
S(x).
S(x) =
- (x - 10)2 +
1600 est donc maximale lorsque
x = 10
car pour cette valeur le terme
négatif - (x - 10)2
disparaît.
On a alors l = L = 40 m et la superficie est 1 600 m2 : on a gagné 100 m2.
➔ On retrouve dans ce problème que le produit de deux nombres dont la somme est constante (ici le demi-périmètre) est maximum si ces nombres sont égaux.