ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Les 23 problèmes de Hilbert    
    
Congrès international de mathématiques, Paris, 1900

Les 23 problèmes de Hilbert font encore l'objet de recherches au 21è siècle : les problèmes 8, 12, 16, 20 et 23 ne sont que partiellement résolus.

 Millennium Prize Problems

Intitulés ? Réponses
1.a/ - Peut-on prouver l'hypothèse du continu de Cantor

1.b/ - L'ensemble des nombres réels peut-il être bien ordonné (conjecture de Cantor, 1883).

r 1.a/ non  Gödel, 1940 et Cohen (1963) : ce dernier montra (1963) l'indépendance de l'axiome du choix et de l'hypothèse du continu que l'on croyait liés, en démontrant l'indécidabilité de cette hypothèse dans les systèmes ZF et ZFC.

1.b/ oui si l'on admet l'axiome du choix, lequel est équivalent à l'existence d'un bon ordre selon Zermelo (1904).

2 - Peut-on prouver la consistance de l'arithmétique ?  En d'autres termes, peut-on démontrer que les axiomes de l'arithmétique ne sont pas contradictoires et, subséquemment, sont-ils indépendants ? r non, Gödel, 1931.
3 - La méthode euclidienne de décomposition en polyèdres est-elle applicable à tous les volumes ?  r non, Dehn (élève de Hilbert), 1900/1901 et Kagon, 1903.
4 - Quelles sont les géométries dans lesquelles le chemin le plus court entre deux points est un segment de droite.  r résolu, George Hamel (1877-1954).
5 - A quelles conditions (minimales), un groupe topologique de transformations est-il un groupe de Lie ? Autrement dit, les conditions de différentiabilité sont-elles nécessaires ? rp solution partielle : Von Neumann (1930), Gleason, Montgomery, Zippin, Yamabe (1952-1953) : tout groupe topologique localement euclidien est un groupe de Lie.
6 - Peut-on axiomatiser la physique ?  x cette question fut rapidement obsolète compte tenu des évolutions radicales de la physique mathématique (théories de la relativité, de la mécanique quantique, cinétique des gaz,...).
7 - Étude de l'irrationalité et de la transcendance de certains nombres, comme : si a désigne un nombre algébrique non nul et distinct de 1, et b un nombre algébrique non rationnel, ab est-il transcendant ? r oui, Gelfond (1929 et 1934), complété par Schneider (1935) et Baker.
8 - Prouver la conjecture de Riemann rp solution partielle : Hardy, Weil.
9 - Nombre de solutions d'une congruence quadratique dans un anneau d'entiers d'un corps algébrique (réciprocité quadratique). r résolu :T. Takagi (1921),  Artin (1927).
10 - Existe-t-il un algorithme universel permettant de conclure à l'existence de solutions d'une équation diophantienne ? En d'autres termes,  existe-t-il un algorithme permettant de savoir si une équation en nombres entiers f(x1, . . . , xn) = 0 possède un nombre fini ou non de solutions dans Zn.

r oui pour les équations limitées à deux variables : Baker, 1968;
non
(cas général) : Julia Robinson, Martin Davis & Yuri Matijasevic (1970)

En savoir plus : http://www.mathkang.org/cite/confC01.html
11 - Généraliser la classification des formes quadratiques à celles dont les coefficients sont choisis dans des anneaux d'entiers algébriques. r résolu par Siegel.
12 - Généralisation d'un théorème de Kronecker portant sur les corps algébriques. rp solution partielle par T. Takagi, H. Hasse : problème ardu de la théorie des nombres conduisant à la théorie des corps de classes et à la multiplication complexe.

Intitulés ? Réponses
13 - Existe-t-il des fonctions continues de 3 variables non superposables par des fonctions continues de deux variables (équivalent à la résolution d'une équation algébrique de degré 7 au moyen de fonction de deux variables). Par exemple, une fonction h de 3 variables est définie par superpositions des trois fonctions f, g et k de 2 variables si pour tout x, y et z, on a : h(x,y,z) = f(g(x,y),k(y,z)). r non, Kolmogorov et Vladimir Arnold, son élève (1954)
14 - Étude d'un problème très pointu, relevant de la théorie des invariants algébriques, relatif à l'existence d'un système fini de générateurs d'une algèbre de fonctions rationnelles sur un corps abstrait. r résolu négativement, Masayoshi Nagata (japonais, 1927-), 1959.
15 - Peut-on fonder (au sens formel) la géométrie énumérative de Schubert (géométrie algébrique, cohomologie).
Hermann Schubert (1848-1911), mathématicien allemand. 
r oui, van der Waerden (1938-40), Bell (1945), Weil (1950).
16 - Peut-on mettre en place une topologie des variétés algébriques réelles (courbes et surfaces). rp partiellement résolu (1978, Shimura, 1995).
17 - Une fonction rationnelle positive sur Rn peut-elle s'écrire comme somme de carrés de fonctions rationnelles ? r oui, Artin (1927).
18 - Peut-on décomposer un espace euclidien de dimension finie comme réunion de pavés de sorte que chacun d'eux soit congruent (directement isométrique : image par déplacement) à l'un des polyèdres d'une famille donnée. Problème dérivé : empilement compact de sphères. r oui, Bieberbach, 1910; Reinhardt, 1928; Heesch, 1935.
19 - Les solutions d'un problème relevant du calcul des variations (système d'équations aux dérivées partielles) sont-elles nécessairement analytiques. r ouiS. N. Bernstein et Tibor Rado,1929, complété par I.G. Petrovski, 1939.
20 - Étudier la solution générale des problèmes de valeur limite (généralisation du problème de Dirichlet). rp partiellement résolu. par S. N. Bernstein (1908)
21 - Étudier l'existence d'une équation différentielle linéaire de Fuchs satisfaisant à des conditions (points singuliers) données. r résolu, Helmut Rörl, 1957.
22 - Uniformisation des fonctions analytiques complexes au moyen de fonctions fuchsiennes (automorphes). r résolu, Poincaré & P. Koebe, 1907.
23 - Développer une méthode générale de résolution dans le calcul des variations. rp partiellement résolu.

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