ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Les 23 problèmes de Hilbert    
     Congrès international de mathématiques, Paris, 1900

Les 23 problèmes de Hilbert font encore l'objet de recherches au 21è siècle : les problèmes 8, 12, 16, 20 et 23 ne sont que partiellement résolus.

Intitulés ? Réponses
1.a/ - Peut-on prouver l'hypothèse du continu de Cantor

1.b/ - L'ensemble des nombres réels peut-il être bien ordonné (conjecture de Cantor, 1883).

 r 1.a/ non  Gödel, 1940 et Cohen (1963) : ce dernier montra (1963) l'indépendance de l'axiome du choix et de l'hypothèse du continu que l'on croyait liés, en démontrant l'indécidabilité de cette hypothèse dans les systèmes ZF et ZFC.

1.b/ oui si l'on admet l'axiome du choix, lequel est équivalent à l'existence d'un bon ordre selon Zermelo (1904).
2 - Peut-on prouver la consistance de l'arithmétique ?  En d'autres termes, peut-on démontrer que les axiomes de l'arithmétique ne sont pas contradictoires et, subséquemment, sont-ils indépendants ? r non, Gödel, 1931.
3 - La méthode euclidienne de décomposition en polyèdres est-elle applicable à tous les volumes ?  r non, Dehn (élève de Hilbert), 1900/1901 et Kagon, 1903.
4 - Quelles sont les géométries dans lesquelles le chemin le plus court entre deux points est un segment de droite.  r résolu, George Hamel (1877-1954).
5 - A quelles conditions (minimales), un groupe topologique de transformations est-il un groupe de Lie ? Autrement dit, les conditions de différentiabilité sont-elles nécessaires ? rp solution partielle : Von Neumann (1930), Gleason, Montgomery, Zippin, Yamabe (1952-1953) : tout groupe topologique localement euclidien est un groupe de Lie.
6 - Peut-on axiomatiser la physique ?  x cette question fut rapidement obsolète compte tenu des évolutions radicales de la physique mathématique (théories de la relativité, de la mécanique quantique, cinétique des gaz,...).
7 - Étude de l'irrationalité et de la transcendance de certains nombres. Par exemple : si a désigne un nombre algébrique non nul et distinct de 1, et b un nombre algébrique non rationnel, ab est-il transcendant ? r résolu : Gelfond (1929 et 1934), complété par Schneider (1935) et Baker (1966).
8 - Prouver la conjecture de Riemann (également appelée hypothèse de Riemann) en liaison avec la distribution des nombres premiers. rp solution partielle : Hardy, Weil.
9 - Solutions d'une congruence quadratique dans un anneau d'entiers d'un corps algébrique (réciprocité quadratique) et, plus généralement d'ordre n où n est une puissance de 2, un nombre premier impair ou une puissance d'un nombre premier impair. r résolu : Teiji Takagi (1921), un étudiant japonais d'Hilbert à Göttingen, solution partielle,  Emil Artin (1927) solution générale, congruence d'ordre n.
10 - Existe-t-il un algorithme universel permettant de conclure à l'existence de solutions d'une équation diophantienne ? En d'autres termes,  existe-t-il un algorithme permettant de savoir si une équation algébrique en nombres entiers
f(x1, . . . , xn) = 0 possède un nombre fini ou non de solutions dans Zn.

 r oui pour les équations limitées à deux variables : Baker, 1968;
non, plus précisément indécidable (cas général) : Julia Robinson, Martin Davis & Youri Matiyasevich (1970)
» En savoir plus : http://www.mathkang.org/cite/confC01.html
11 - Généraliser la classification des formes quadratiques à celles dont les coefficients sont choisis dans des anneaux d'entiers algébriques. r résolu par Siegel.
12 - Généralisation d'un théorème de Kronecker portant sur les corps algébriques. rp solution partielle par Teiji Takagi (voir 9è pb) et Helmut Hasse : problème ardu de la théorie des nombres conduisant à la théorie des corps de classes et à la multiplication complexe.

Intitulés ? Réponses
13 - Existe-t-il des fonctions continues de 3 variables non superposables par des fonctions continues de deux variables (équivalent à la résolution d'une équation algébrique de degré 7 au moyen de fonction de deux variables). » Par exemple, une fonction h de 3 variables est définie par superpositions des trois fonctions f, g et k de 2 variables si pour tout x, y et z, on a : h(x,y,z) = f(g(x,y),k(y,z)). r non, Kolmogorov et Vladimir Arnold, son élève (1954)
14 - Étude d'un problème très pointu, relevant de la théorie des invariants algébriques, relatif à l'existence d'un système fini de générateurs d'une algèbre de fonctions rationnelles sur un corps abstrait. r résolu négativement, Masayoshi Nagata (japonais, 1927-), 1959.
15 - Peut-on fonder (au sens formel) la géométrie énumérative de Schubert (géométrie algébrique, cohomologie).
» Hermann Schubert (1848-1911), mathématicien allemand.  		r oui, van der Waerden (1938-40), Bell (1945), Weil (1950).
16 - Peut-on mettre en place une topologie des variétés algébriques réelles (courbes et surfaces). rp partiellement résolu (1978, Shimura, 1995).
17 - Une fonction rationnelle positive sur Rn peut-elle toujours s'écrire comme somme de carrés de fonctions rationnelles ? r oui, Artin (1927).
18 - Peut-on décomposer un espace euclidien de dimension finie comme réunion de pavés de sorte que chacun d'eux soit congruent (directement isométrique : image par déplacement) à l'un des polyèdres d'une famille donnée.
» Problème dérivé : empilement compact de sphères , Marina Viazosska		 r oui, Bieberbach, 1910; Reinhardt, 1928; Heesch, 1935.
19 - Les solutions d'un problème relevant du calcul des variations (système d'équations aux dérivées partielles) sont-elles nécessairement analytiques. r oui,  S. N. Bernstein et Tibor Rado,1929, complété par I.G. Petrovski, 1939.
20 - Étudier la solution générale des problèmes de valeur limite (généralisation du problème de Dirichlet). rp partiellement résolu. par S. N. Bernstein (1908)
21 - Étudier l'existence d'une équation différentielle linéaire de Fuchs satisfaisant à des conditions (points singuliers) données. r résolu, Helmut Rörl, 1957.
22 - Uniformisation des fonctions analytiques complexes au moyen de fonctions automorphes (fonctions fuchsiennes). r résolu, Poincaré & Paul  Koebe, 1907.
23 - Développer une méthode générale de résolution dans le calcul des variations. rp partiellement résolu.

Cette page, comme toutes les autres (plus de 2000), représente depuis 1993 un travail personnel non négligeable de recherches, d'analyse et de synthèse. A ceux qui l'ont recopiée et publiée sur leur site sans pudeur ni scrupule (ou qui s'apprêteraient à commettre cette abomination...), je recommande de vérifier les informations qu'elle contient car elles peuvent être entachées d'erreurs (y compris d'orthographe !) et de s'interroger sur les problèmes de déontologie, de bonne éducation et de droits d'auteur...

»  Millennium Prize Problems , Les 18 problèmes de Smale

 ➔   Pour en savoir plus :

  1. Sur les problèmes futurs des mathématiques: Les 23 problèmes par David Hilbert
    La conférence de David Hilbert - Ed. Jacques Gabay - Paris 1990/2004
  2. ABRÉGÉ D'HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES, 1700-1900 par Jean Dieudonné et une équipe de mathématiciens, Éd. Hermann - 1992.
  3. Hilbert's Mathematical Problems sur le site de D. E. Joyce (avec commentaires et développements) :
    http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/toc.html
  4. Les problèmes de Hilbert et leur devenir, par Jean-Michel Kantor (1993) :
    http://www.numdam.org/article/CSHM_1993_2_3__95_0.pdf
  5. Les problèmes de Hilbert, par Étienne Ghys sur Images des mathématiques (CNRS) :
    http://images.math.cnrs.fr/Les-problemes-de-Hilbert.html
     

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