ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Probabilité de choisir au hasard deux entiers premiers entre eux      ou comment p s'immisce en arithmétique...

Choisir deux nombres entiers naturels au hasard n'est pas évident, voire impossible puisque il ne vous viendra jamais à l'idée d'aller choisir deux nombres comme

Le jeu est donc faussé dès le départ. Cependant, il nous faut rester théorique : on est dans le domaine mathématique.

Problème :   

On tire deux nombres entiers au hasard. quelle est la probabilité qu'ils soient premiers entre eux ?

 
Suivez bien le raisonnement, il pourrait y avoir une erreur quelque part...

Notons a ^ b le pgcd de deux entiers naturels a et b, d un entier et p_k la probabilité de l'événement a ^ b = d. La probabilité cherchée est :

Puisque nous travaillons dans N, non borné, d peut prendre toute valeur et par conséquent, l'événement certain est :

et il apparaît ainsi que :

Il nous faut évaluer p_k pour tout k > 1 de N.

Dire que a ^ b = k, c'est dire qu'il existe deux entiers m et n premiers entre eux tels que a = mk et b = nk.

Ainsi :

Il est donc clair (?) que :

Prob(a ^ b = k) = Prob{a = mk} Prob{b = nk} Prob{ m ^ n = 1}

La dernière probabilité écrite est p₁. Si vous êtes d'accord (?) , on continue :

Quelle est la probabilité que a = mk ? C'est très simple : dans la division de a par k il peut y avoir k restes allant de 0 à k - 1. L'entier a sera multiple de k dans le seul cas où k = 0. Donc la probabilité cherchée est 1/k en admettant l'équiprobabilité des restes, ce qui semble acquis par translation par exemple, dans la division par 3, on a autant de chances de rencontrer un nombre de la forme 3k + 1 ou 3k + 2). Par conséquent :

La somme (1) devient ainsi :

Mettons p₁ en facteur et chassons la somme factorisée au second membre :

Or nous savons que 1 + 1/2² + 1/3² + ... + 1/n² + ... n'est autre que z(2) = p²/6 :

calcul de z(2) :

Nous en déduisons donc :

Prob{a ^ b = 1} = 6/p².

Un beau et étonnant résultat ! Ce résultat est juste mais, hélas, la démonstration ci-dessus pèche sur un point. Il est écrit plus haut : « La dernière probabilité écrite est p₁. Si vous êtes d'accord, on continue ». Nous aurions dû nous arrêter en n'étant pas d'accord !

En effet, la probabilité que m ^ n = 1 n'est pas ici p₁ car m et n doivent être premiers entre eux eu égard au choix de a et b. On ne peut définir de probabilité uniforme sur l'ensemble des entiers.

En effet, si nous affectons chaque entier de la même probabilité d'être choisi "au hasard" , la probabilité totale serait non pas 1 mais infinie! Et si nous tentons de maintenir naïvement une équiprobabilité, N étant infini, la probabilité pour chaque entier d'être choisi serait nulle.

Dans le raisonnement ci-dessus, tout se passe comme si nous travaillions non pas dans N tout entier (ce qui n'est pas possible nous venons de le dire) mais dans l'ensemble des entiers inférieurs à Max (a,b).

Et si, pour plus de généralité, l'on tente de travailler dans un ensemble [1,n] pour faire ensuite tendre n vers l'infini, on sera confronté au même problème !

La démonstration rigoureuse de ce beau résultat est complexe. La démonstration ci-dessus (si on peut encore la qualifier ainsi)  est très inspirée de celle que j'ai lu dans une célèbre Encyclopédie universelle. L'analyse d'une solution bancale est toutefois intéressante, raison pour laquelle il m'a paru intéressant de la citer. Je n'ai pas retrouvé la solution de Cesaro.

  Vous trouverez des preuves plus convaincantes mais moins simples dans :

• Exercices corrigés de mathématiques posés à l'oral des concours de Polytechnique et des Écoles Normales Supérieures
  Algèbre, par Eric Leichtnam - Exercice 1.26, Collection Ellipses - Paris, 1999.

• Exercices de mathématiques, oraux X-ENS - Algèbre 1, par S. Francinou, H. Gianella, S. Nicolas.
  Exercice 4.32, Ed. Cassini - Paris, 2001.

Et si vous aimez les casse-tête probabilistes « mal posés », voyez dans Chronomath  :

Paradoxe de Bertrand , trisection d'un bâton , fille ou garçon