ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Notion d'espace métrique             » Métrique associée à une norme | Espace métrisable | Produit scalaire, norme & distance euclidienne          Topologie | Topologie combinatoire et algébrique

La notion intuitive de distance dans le plan et l'espace euclidiens (» produit scalaire) se généralise à des espaces abstraits : il s'agit des espaces métriques :

Un ensemble (non vide) E est qualifié d'espace métrique (» Fréchet) s'il existe une application d : E × E →R⁺, appelée distance vérifiant les axiomes (propriétés) suivant(e)s :

Pour tout x, y, z de E :

1. d(x,y) = 0 si et seulement si x = y      
2. d(x,y) = d(y,x)     
3. d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z)

L'axiome 3 généralise le résultat de géométrie plane élémentaire, souvent appelé inégalité triangulaire, selon lequel :

Dans tout triangle, la mesure d'un côté est inférieure à la somme des deux autres

On a, par exemple, BC < AB + AC. Plus précisément :

• | AB - AC | < BC < AB + AC

• | AB - BC | < AC < AB + BC

• | AC - CB | < AB < AC + CB

 ➔   On peut remarquer que cette double  inégalité fondamentale est équivalente à

- 1 < cos < 1     (Â, angle géométrique compris entre 0 et 180°)

Preuve : En effet, posons pour simplifier BC = a, AB = c, Ac = b, la double inégalité ci-dessus s'écrit |b - c| < a < b + c. vu la positivité de ses 3 termes, elle est équivalente à (b - c)² < a² < (b + c)^², donc à -2bc < a² - b² - c²  <  2bc. Mais la relation d'Al-Kashi nous apprend que a² = b² + c² -2bc.cos^A. Nous obtenons donc bien la relation annoncée en divisant par 2bc.

Inégalités usuelles dans le triangle : »

∗∗∗  Exercice d'application niveau collège | niveau Ter/Sup

♦ Distance dans R et C :      

La distance, dite usuelle ou naturelle, de deux nombres réels ou complexes x est y est le nombre positif d(x,y) = |x - y|, valeur absolue (resp. le module) de x - y. Les ensembles R et C sont ainsi des espaces métriques. Dans ces deux ensembles, l'inégalité triangulaire énoncée précédemment se généralise à :

| |a| - |b| | ≤ |a + b|  ≤ |a| + |b|

et peut se vérifier facilement par élévation au carré puisque chaque terme de cette double inégalité est positif.

 ➔   Le qualificatif métrique est également substantifié pour signifier une distance. Si on modifie l'axiome 1 de la définition en le remplaçant par la seule condition d(x,x) = 0, on parle d'écart sur E et non plus de distance. On remarquera que l'écart est à la distance ce que la semi-norme est à la norme.

∗∗∗
Si E désigne l'ensemble des fonctions numériques continues sur un intervalle [a,b]
montrer que l'on définit un écart sur E en posant e(f,g) = <f , g> = ∫_[a,b] |f(x) - g(x)|dx.

♦ Distance dans le plan :      

L'axiome 3 est aussi appelé inégalité triangulaire. Il est calqué sur la structure métrique du plan muni de la distance euclidienne usuelle résultant du théorème de Pythagore que l'on définit dans un repère orthogonal utilisant la même unité sur chaque axe par :

♦ Distance en analyse fonctionnelle :   

Le concept général de distance permet d'étudier des objets mathématiques quelconques se comportant comme des nombres ou des points. On peut citer les problèmes d'approximation d'une fonction numérique f par une suite de fonctions f_n. Il s'agit alors de définir une distance dans un ensemble de fonctions. Il y a souvent plusieurs possibilités et on se doit de choisir la distance la plus efficace eu égard au problème étudié.

• Pour des fonctions numériques partout définies dans un intervalle [a,b], on peut définir la distance :

                

•  Dans le cas de fonctions continues, l'écart quadratique moyen est aussi une distance :

Lorsque E désigne un espace vectoriel normé, en posant :

d(x,y) = || x - y ||, norme de x - y

on définit une métrique dans l'espace E. On appelle alors isométrie, une application f conservant les distances :

∀ (x,y)∈E² , d[f(x),f(y)] = d(x,y)

Il s'agit d'applications affines particulières que l'on caractérise facilement au moyen de leur endomorphisme associé (application linéaire conservant la norme : isométrie vectorielle) et l'image d'un point de E. Une translation, une rotation, une symétrie dans le plan ou l'espace sont des isométries.

En savoir plus sur les isométries vectorielles : »         et sur les isométries affines : »

Un espace métrique E peut être muni très simplement de la structure d'espace topologique : si d est la distance sur E, on décide que les voisinages d'un élément x de E seront les parties de E de la forme :

B_x,k = {y∈E , d(x,y) < k} , k > 0

On parle, comme à l'habitude en topologie, de boule ouverte de centre x, de rayon k.

Une partie A de E sera dite ouverte si elle est vide ou si pour tout x de A, il existe un voisinage de x inclus dans A. On vérifie facilement que cette définition d'une topologie par ses parties ouvertes remplit les conditions d'Hausdorff.

• L'espace physique usuel peut être assimilé à R³ et les voisinages d'un point M de l'espace sont les sphères de centre M et de rayon non nul.

♦ Distance discrète :    

Un cas trivial de distance peut être défini sur tout ensemble non vide par :

♦ Inversement, peut-on munir un espace topologique E d'une métrique ?    

En d'autres termes, E est-il métrisable ? On dit qu'une distance définie dans E est compatible avec sa topologie T, si la topologie définie par cette distance n'est autre que T. E est dit métrisable s'il existe une distance dans E compatible avec sa topologie.

Dans un espace métrique, tout point possède un système fondamental de voisinages dénombrable : il suffit de choisir les boules ouvertes B_x,1/n. Au lieu de 1/n, toute suite (r_n) de réels positifs tendant vers 0 convient également.

♦ Un résultat important et bien évident :        

La topologie d'un espace métrique est séparée : deux points distincts possèdent des voisinages disjoints. En termes plus sibyllins :

∀x∈E, ∀y∈E, ∃ V_x, ∃ V_y  :  V_x∩V_y = Ø

En effet, x et y étant distincts, d = d(x,y) ≠ 0. Il suffit donc de choisir  V_x et V_y de rayon r < d/2.

Ultramétrique : »

♦ Espace métrique complet :        

On qualifie de complet un espace métrique E dans lequel toute suite de Cauchy est convergente (vers un point de E). Pour en savoir un peu plus.

 !  Dire qu'une suite d'éléments d'un ensemble donné est convergente n'a pas grande signification si l'on ne précise pas dans quel ensemble appartient sa limite ! L'ensemble Q des nombres rationnels n'est pas complet :

Une suite de Cauchy dans Q non convergente dans Q : »          Fréchet et les espaces métriques complets :  »

♦ Espace polonais :     

En 1949, en hommage aux mathématiciens polonais s'étant intéressé au sujet des espaces topologiques métrisables et complets (comme Kuratovski, Sierpinski, Banach, Hurewicz, Marczewski), Bourbaki, sur la suggestion de Roger Godement, qualifia de polonais un espace topologique séparable, métrisable et complet pour la distance compatible avec sa topologie (» réf.3b).

• R et plus généralement Rⁿ  sont des espaces polonais

• Tout espace métrique compact est polonais

• Tout espace localement compact, métrisable et dénombrable à l'infini (réunion dénombrable d'ensembles compacts) ou, a fortiori, admettant une base dénombrable, est polonais.

1/  Tout sous-espace ouvert ou fermé d'un espace polonais est polonais.

2/ Dans un espace topologique séparé, toute intersection dénombrable de sous-espaces polonais est un sous-espace polonais.

En conséquence de ces résultats :

L'ensemble IR des nombres irrationnels muni de la topologie induite par R, est un espace polonais.

Preuve : IR est le complémentaire de Q dans R; il peut s'écrire comme l'intersection des R - {q_n} où n décrit N (» Lois de Morgan) car Q étant dénombrable, on peut le lister sous la forme {q₁, q₂, ..., q_n, ...}. Les {q_n} sont fermés dans R; IR apparaît donc ouvert dans R en tant qu'intersection dénombrable d'ouverts.

»  Souslin

 ➔   Pour en savoir plus :

1. Topologie générale : Cours de Topologie, par Gustave Choquet, Éd. Masson 1969, 1992

2. Cours d'analyse, tome 2 (espaces topologiques & métriques, fonctions numériques, e. v. topologiques), par G. Choquet - Ed. Masson, Paris, 1964

3. a) Espaces polonais : Analyse mathématique IV, par Roger Godement sur Google Livres, voir page 67 :
   http://books.google.fr/book?id=aXcRwvYVdfgC&pg=PA67&lpg=PA67&dq=espace+polonais...
   b) Nicolas Bourbaki : Éléments de mathématique, Topologie, Ch. 9, §6

4. L'analyse fonctionnelle : aperçu historique développé par Jean Dieudonné in ABRÉGÉ D'HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES, Ed. Hermann - 1992

5. Caractérisation d'espaces polonais (Séminaire Choquet, 1972) : http://www.math.jussieu.fr/~raymond/preprints/polonais72.pdf