ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Notion d'espace métrique            Topologie , Topologie combinatoire et algébrique

La notion intuitive de distance dans le plan et l'espace euclidiens ( produit scalaire) se généralise à des espaces abstraits : il s'agit des espaces métriques. Un ensemble (non vide) E est dit métrique (Fréchet) s'il existe une application numérique d de E x E vérifiant les axiomes (propriétés) suivant(e)s :

Pour tout x, y, z de E :

1. d(x,y) 0      2. d(x,y) = 0 x = y       3. d(x,y) = d(y,x)      4. d(x,y)  d(x,z) + d(z,y)

L'axiome 4 généralise le résultat de géométrie plane élémentaire, souvent appelé inégalité triangulaire, selon lequel :

Dans tout triangle, la mesure d'un côté est inférieure à la somme des deux autres :

      BC < AB + AC. Plus précisément, on doit écrire :

| AB - AC | < BC < AB + AC

On peut remarquer que cette double  inégalité fondamentale est équivalente à

- 1 < cos^A < 1     (Â, angle géométrique compris entre 0 et 180°)

En effet, posons pour simplifier BC = a, AB = c, Ac = b, la double inégalité ci-dessus s'écrit |b - c| < a < b + c. vu la positivité de ses 3 termes, elle est équivalente à (b - c)2 < a2 < (b + c)^2, donc à -2bc < a2 - b2 - c2  <  2bc. Mais la relation d'Al-Kashi nous apprend que a2 = b2 + c2 -2bc.cos^A. Nous obtenons donc bien la relation annoncée en divisant par 2bc.

Inégalités usuelles dans le triangle :          Exercice d'application niveau collège  ,  niveau Ter/Sup

Distance dans R :        

Muni de la distance usuelle d(x,y) = |x - y| , valeur absolue (resp. le module) de x - y, l'ensemble R des nombres réels (resp. C des nombres complexes) est un espace métrique. L'inégalité triangulaire se généralise à :

| |a| - |b| | |a + b|  |a| + |b|

laquelle peut se vérifier par élévation au carré.

Le qualificatif métrique est également substantifié pour signifier une distance. Si on supprime l'axiome 2 en le remplaçant par la seule condition d(x,x) = 0, on parle d'écart sur E et non plus de distance. On remarquera que l'écart est à la distance ce que la semi-norme est à la norme.


Si E est l'ensemble des fonctions numériques continues sur un intervalle [a,b], montrer que l'on définit un écart, noté e,
en posant e(f,g) = [f(x) - g(x)]dx.

Distance dans le plan :        

L'axiome 3 est aussi appelé inégalité triangulaire. Il est calqué sur la structure métrique du plan muni de la distance euclidienne usuelle résultant du théorème de Pythagore que l'on définit dans un repère orthogonal utilisant la même unité sur chaque axe par :

Un cas trivial de distance peut être défini sur tout ensemble non vide par :

On parle de distance discrète et la topologie induite est la topologie discrète.

Le concept général de distance permet d'étudier des objets mathématiques quelconques se comportant comme des nombres ou des points. On peut citer les problèmes d'approximation d'une fonction numérique f par une suite de fonctions fn. Il s'agit alors de définir une distance dans un ensemble de fonctions. Il y a souvent plusieurs possibilités et on se doit de choisir la distance la plus efficace eu égard au problème étudié. Sur un intervalle [a,b], on peut définir la distance :

                                   Distance p-adique :  

Métrique dans un espace vectoriel normé, isométries :

En posant :

d(x,y) = || x - y ||, norme de x - y

on définit une métrique dans un espace vectoriel normé. On appelle alors isométrie, une application f conservant les distances :

(x,y)E2 , d[f(x),f(y)] = d(x,y)

Il s'agit d'applications affines particulières que l'on caractérise facilement au moyen de leur endomorphisme associé (application linéaire conservant la norme : isométrie vectorielle) et l'image d'un point de E. Une translation, une rotation, une symétrie dans le plan ou l'espace sont des isométries.

En savoir plus sur :  les isométries vectorielles :,   les isométries affines :

Topologie et espace métrique, espace métrisable :

Un espace métrique E peut être muni très simplement de la structure d'espace topologique : si d est la distance sur E, on décide que les voisinages d'un élément x de E seront les parties de E de la forme :

Bx,k = {yE , d(x,y) < k} , k > 0

On parle, comme à l'habitude en topologie, de boule ouverte de centre x, de rayon k.

Une partie A de E sera dite ouverte si elle est vide ou si pour tout x de A, il existe un voisinage de x inclus dans A. On vérifie facilement que cette définition d'une topologie par ses parties ouvertes remplit les conditions d'Hausdorff.

Inversement, peut-on munir un espace topologique E d'une métrique ? E est-il métrisable ? Tout d'abord, on dira qu'une distance définie dans E est compatible avec sa topologie T, si la topologie définie par cette distance n'est autre que T. On dit alors que E est métrisable s'il existe une distance dans E compatible avec sa topologie.

Dans un espace métrique, tout point possède un système fondamental de voisinages dénombrable : il suffit de choisir les boules ouvertes Bx,1/n. Au lieu de 1/n, toute suite (rn) de réels positifs tendant vers 0 convient également.

Un résultat important et bien évident :        

La topologie d'un espace métrique est séparée : deux points distincts possèdent des voisinages disjoints. En termes plus sibyllins :

xE, yE, Vx, Vy  :  VxVy = Ø

En effet, x et y étant distincts, d = d(x,y) 0. Il suffit donc de choisir  Vx et Vy de rayon r < d/2.

Ultramétrique :

 Pour en savoir plus :

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