ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

MINKOWSKI Hermann, allemand, 1864-1909

D'origine russe, Hermann Minkowski fut un enfant extrêmement brillant. Collégien, il se passionne déjà pour la théorie des nombres.  Doué d'une mémoire phénoménale, il retient mot pour mot tout ce qui lui tombe sous la main,  algèbre et géométrie en particulier... Il étudia à Berlin et à Königsberg (anciennement ville de Prusse orientale, aujourd'hui Kaliningrad en Russie) auprès de Hilbert.

Jeune étudiant, il se fait connaître à 18 ans par un mémoire sur les formes quadratiques et la décomposition des nombres entiers en somme de cinq carrés (1882) présenté à l'Académie des sciences de Paris, ce qui lui vaudra, partagé avec un de ses professeurs, l'irlandais John Henry Smith, le grand prix de cette institution qui avait proposé le sujet comme un challenge un an  plus tôt.

 i  Smith Henri John Stephen: irlandais (1826-1883), diplômé d'Oxford (1849), professeur au Balliol College (université d'Oxford). Travaux en théorie des nombres, formes quadratiques et fonctions elliptiques.

Après la soutenance de sa thèse de doctorat (1887) portant sur les formes quadratiques et dirigée par Lindemann, tout comme celle de son ami Hilbert de deux ans son aîné, Minkowski débutera sa carrière aux universités de Bonn et de Königsberg. Soutenu par Hilbert, il est nommé à Göttingen en 1902 où il poursuivra son enseignement et ses travaux.

Avant cette nomination, Minkowski fut, à l'École polytechnique de Zürich, de 1896 à 1902, un des professeurs d'Albert Einstein (1879-1955) et formula avec lui les bases de la relativité restreinte dans un espace vectoriel réel de dimension 4 en définissant le concept d'espace-temps et sa métrique (1907) parfois appelé espace de Minkowski.

Dans un tel espace, un point M de de l'espace est repéré au moyen de trois coordonnées spatiales x, y, z et par une coordonnée temporelle t sous la forme M(x, y, z, ict) où i désigne le célèbre nombre complexe de carré -1 et c la célérité de la lumière, constante universelle évaluée de nos jours, dans le vide à 299 792 458 m/s, soit environ 300 000 km/s.

Métrique de l'espace temps, transformation de Lorentz : »

Minkowski meurt prématurément d'une péritonite (il n'avait que 44 ans). Quelques mois plus tôt, il donnait son ultime conférence Espace et temps et était sur le point de finaliser sa nouvelle mécanique de l'espace-temps. Le monde perdait un de ses scientifiques les plus prestigieux, génial mathématicien, génial physicien qui a su comprendre immédiatement toute la portée de son non moins génial physicien et élève Albert Einstein.

La géométrie des nombres :     

Ses travaux mathématiques porteront sur les espaces vectoriels réels normés, la théorie des nombres et des formes quadratiques, les parties convexes de Rn. Dans sa Geométrie des nombres (Geometrie der Zahlen, 1896, » réf.4), consistant à introduire des méthodes  géométriques dans la résolution de problèmes arithmétiques, Minkowski  développe le concept de convexité dans un ensemble abstrait à n dimensions, calqué sur le modèle géométrique intuitif, et dont les applications sont nombreuses : combinatoire, théorie des graphes, analyse fonctionnelle, optimisation, économétrie.

La notion de convexité : »        Principe local-global de Minkowski-Hasse : »        » Mordell , Davenport

Inégalité triangulaire de Minkowski :

Cette double inégalité est la généralisation de l'inégalité triangulaire à un espace vectoriel normé, à savoir :

|| a || - || b || |  ≤  || a + b ||  ≤  || a || + || b ||

où la notation || a || désigne la norme ("longueur") du "vecteur" a.

Inégalité de Minkowski (dite de convexité) :

si f et g sont deux fonctions positives et intégrables sur un intervalle [a,b], alors pour tout p ≥ 1 :

Cette inégalité est plus généralement valable pour des fonctions de Lp, ensemble des (classes de) fonctions mesurables de puissance p-ème intégrable : si f et g sont éléments de Lp alors si p ≥ 1 :

 || f + g ||p ≤  || f ||p  +  || g ||p

Espaces Lp : »       Inégalité de Hölder : »

 ➔   Pour en savoir plus :

  1. Espace et temps par Hermann Minkowski (1909) sur le site Numdam :
    http://archive.numdam.org/article/ASENS_1909_3_26__499_0.pdf

  2. La relativité, par Stamatia Mavridès, réédition 1995 - Que sais-je ?, n° 37, P.U.F.

  3. La Relativité, par Albert Einstein, Éd. Petites bibliothèque Payot, Paris - 1956. Réédition 1990

  4. La géométrie dans la géométrie des nombres, par Sébastien Gauthier (in revue d'Histoire des Mathématiques de la SMF, 2009) :
    https://smf.emath.fr/system/files/2017-08/smf_rhm_15_183-230.pdf

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