ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Convexité   
  
  fonctions convexes | ensembles & espaces convexes , parties étoilées | espaces localement convexes | simplexes

Une partie d'un espace affine E est dite convexe si, pour toute paire de points A et B de , le segment [AB] est inclus dans .

Par segment, on entend l'ensemble des points M de tels que AM = λAB, 0 λ 1, soit, dans le plan ou l'espace euclidien usuel, les points de la droite (AB) situés entre A et B (extrémités A et B comprises).

Mathématiques au jardin.... :
panneau dit "convexe" (B), panneau dit "concave" (C) extrait du catalogue Gedimat, Aménagements extérieurs 2007.       

On peut obtenir une définition symétrique en A et B en remarquant que la relation précédente peut s'écrire :

(1 - λ)MA + λMB = 0, 0 λ 1       (2)

équivalente à :

αMA + βMB = 0, α et β positifs       (3)

C'est dire que le segment [AB] est l'ensemble des barycentres de A et B à pondération positive.

Si l'espace E est muni d'une origine O La relation (2) peut aussi s'écrire au moyen de la formule de Chasles sous la forme :

OM = (1 - λ)OA + λOB, 0 λ 1

Il résulte de cette écriture que si A et B sont deux points d'une droite d'origine O contenant un point M, en notant a, b et x les abscisses respectives de A, B et M, on a l'équivalence :

M[AB]     x = (1 - λ)a + λb, λ[0,1]

Vu que [AB] = [BA], on peut évidemment échanger les rôles de A et B : M[AB]     x = λa + (1 - λ)b, λ[0,1]

Théorème de Helly :    

Soit C1, C2 ..., Cp une famille finie de convexes de Rn avec p ≥ n + 1. Si toute intersection de n + 1 d'entre eux est non vide, alors l'intersection des p éléments de la famille est non vide.

Hörmander

Fonction numérique convexe :

On dit qu'une fonction numérique f est convexe sur un intervalle réel J = [a,b] de son ensemble de définition pour exprimer que :

f [(1 - λ)a + λb] (1 - λ)f(a) + λf(b),  λ[0,1]      (cvx)

On peut dire que f est sous-additive relativement à tout point de [a,b].

Cela signifie concrètement (ci-dessous) que la courbe représentative de f sur [a,b] est "en-dessous" du segment [AB] joignant les images de a et de b (y = f(x) z) : la courbe présente un creux : on parle parfois de concavité tournée vers le bas.

Le graphique ci-dessus est un arc de parabole. Une telle courbe partage le plan en deux régions : pour toute paire de points A et B de la parabole, le segment ]AB[ est intérieur à la parabole. Tout point non intérieur est à l'extérieur de la parabole. On remarquera la relativité des sens que l'on peut donner à concave et convexe dans le langage courant :  une petite bête extérieur à la parabole dira "qu'elle est convexe" (bombée), une petite bête à l'intérieur dira "qu'elle est concave"...   

miroir plan, miroir convexe, miroir concave

Eu égard à la définition mathématique d'une partie convexe, l'intérieur de la parabole est convexe mais non pas son extérieur comme l'indique en exemple le segment rouge :


Une additivité, égalité au lieu de dans (cvx), signifierait que la fonction f est affine sur [a,b] : f(x) serait de la forme mx + p. On a dans ce cas, en notant que p = (1 - λ)p + λp :

f [(1 - λ)a + λb] = m[(1 - λ)a + λb] + (1 - λ)p + λp =  (1 - λ)(ma + p) + λ(mb + p) = (1 - λ)f(a) + λf(b)


Montrer inversement que si f [(1 - λ)a + λb] = (1 - λ)f(a) + λf(b),  λ[0,1], alors les images de l'intervalle [a,b] sont "alignées" au sens que si M(x,f(x), alors les vecteurs AM et BM sont colinéaires. En déduire que la restriction de f à l'intervalle [a,b] est affine.

Inflexion en un point d'une courbe plane :

Fonctions convexes sur espace vectoriel abstrait :

On généralise la définition d'une fonction convexe sur un espace vectoriel réel E en tant que fonction numérique telle que :

(u,v) E2 : f [(1 - λ)u + λv] (1 - λ)f(u) + λf(v),  λ[0,1]         (cvx2)


Montrer qu'une semi-norme sur un espace vectoriel E est une fonction convexe sur E

Quelques résultats importants :

Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert J fini ou non de R .

  1. Si f est continue sur J,  f convexe f [½(a + b)] ≤ [f(a) + f(b)] pour tous a et b de J

  2. Si f est convexe sur J alors f est continue sur J et dérivable à gauche et à droite en tout point de J.
    De plus, l'ensemble des points de non dérivabilité de f est fini ou dénombrable.

  3. f est convexe si et seulement si son taux d'accroissement en tout point a de J est croissant sur J :

  1. Si f est dérivable, f convexe f ' croissante

  2. Si f  est deux fois dérivable : f convexe f '' ≥ 0.

  3. Toute combinaison linéaire finie de fonctions convexes est convexe.

  4. Toute limite f d'une suite de fonctions convexes est convexe.


1°. Justifier que les fonctions x - ln(x)  et u : x x2+1/x2 sont convexes sur R+* (ln désigne le logarithme népérien).
En est-il de même de x - ln(u(x)) ? 
Ind. : non, - ln(u) change de concavité en x = 4(4+17) ≈ 1,69.


2°. Soit f strictement positive sur J, deux fois dérivable en tout point de J. Montrer que ln f(x) est convexe si et seulement :
pour tout x de J :  [(x)]2 ≤  f(x)'(x).
 Ind. : calculer  [ln f(x)]'' et utiliser 5.  

Parties convexes et étoilées d'un espace vectoriel :

De façon analogue au cas concret des espaces affines, on peut parler de segment dans un espace vectoriel (E,+,) sur le corps K = R ou C : u et v désignant deux vecteurs de E, le segment [u,v] d'extrémités u et v sera défini ainsi :

w[u,v]     w = (1 - λ)u + λv, λ[0,1]

i/ Une partie A de E est dite convexe si pour toute paire {u,v} d'éléments de A, le segment [u,v] est inclus dans A.

ii/ Une partie A de E est dite étoilée lorsque E contient au moins un élément u tel que pour tout v de E le segment [u,v] soit inclus dans A. On dira aussi que A est étoilée par rapport à v.

A est convexe si et seulement si elle est étoilée par rapport à chacun de ses éléments

Théorème de Poincaré sur les formes différentielles :

Espaces vectoriels topologiques localement convexes :

Lorsque E peut être muni d'une topologie (au moyen d'une norme ou d'une semi-norme par exemple), il est important de pouvoir travailler en termes de voisinages convexes. On dira que E est localement convexe lorsque chaque élément de E possède un système fondamental de voisinages convexes.

Enveloppe convexe, polytope :

Lorsque E est un espace affine et une partie de E, l'ensemble des parties de E contenant n'est pas vide : il contient E. L'intersection de toutes les parties de E contenant est appelé enveloppe convexe de . C'est le plus petit convexe contenant .

Dans l'espace, on obtiendrait de façon semblable un polyèdre convexe (au moyen de plans formant les faces) et en dimension supérieure à 3, ce qu'on appelle un polytope (au moyen d'hyperplans), concept relativement récent qui semble apparaître à l'instigation d'Alicia Stott.

Alicia Stott : mathématicienne amateur (1860-1940), fille de George Boole. Sans recevoir une formation mathématique supérieure, elle s'intéressa aux mathématiques, et tout particulièrement, en géométrie, aux polyèdres archimédiens et à une interprétation de la géométrie en dimension 4, dans un article, On certain series of sections of the regular four-dimensional hypersolids, publié à Amsterdam en 1900. Ses travaux ne furent que partiellement reconnus jusqu'à sa rencontre (1930, elle a alors 70 ans), avec un jeune mathématicien anglais de l'époque Harold S. M. Coxeter (1907-2003) passionné par le sujet. source

Rappelons qu'on appelle hyperplan dans un espace affine de dimension n, toute variété (sous-espace) affine de dimension n - 1. Dans le plan, les droites sont les hyperplans de dimension 1 et, dans l'espace 3D, les hyperplans sont les plans de dimension 2.   

Notion de simplexe :     

On considère dans Rn l'ensemble fini constitué de n + 1 points, trois quelconques d'entre eux n'étant pas alignés. On appelle simplexe l'enveloppe convexe de . Les points de sont les sommets.

Si n = 1, on a un segment, si n = 2, il s'agira d'un triangle, si n = 3 d'un tétraèdre, si n > 3, on parlera de polytope, appellation initiée par Alicia Boole Stott. L'étude des simplexes est un très important chapitre de la topologie combinatoire dont le théorème d'Euler-Descartes est un exemple. On les retrouve en particulier dans les problèmes de programmation linéaire : méthode du simplexe de Dantzig.

Un exercice élémentaire de programmation linéaire :               Dantzig , Coxeter

Pour en savoir plus :


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