ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Notion de topologie générale, espaces topologiques           
   
Topologie combinatoire et algébrique | Espaces métriques
   
  Adhérence & partie dense , Compacité , Espace séparé , Topologie induite , Espaces vectoriels topologiques , Espace dual

Les progrès de l'analyse, dans l'étude des fonctions continues (naïvement : dont la représentation graphique n'a pas de trous), de leur dérivabilité, de leurs limites en un point (fini ou non), de l'existence d'extremums, demandaient une définition rigoureuse de l'idée intuitive de proximité, tout particulièrement lors d'opérations sur ces fonctions. Les suites de fonctions et la "découverte" de la convergence uniforme nécessitèrent de nouveaux outils. On travaille là dans des ensembles dont les points (éléments) sont des fonctions : espaces fonctionnels.

Le terme actuel de topologie est dû à Listing. Mot à mot, la topologie est la science des lieux (du grec logos = discours au sens discursif : étude, raisonnement et topos = lieu, site).

Cette topologie s'intéresse aux propriétés qualitatives et aux positions relatives d'objets mathématiques dans un ensemble donné, indépendamment de leurs mesures. En quelque sorte, elle s'oppose à la topométrie consistant à mesurer "sur le terrain" et aux espaces métriques pouvant cependant être munis d'une topologie induite par leur distance.

La continuité n'est pas l'apanage de l'analyse. Elle se retrouve en géométrie dans ses transformations, voire ses déformations continues : passage sans déchirure d'une forme à une autre, rencontrées principalement (historiquement tout au moins) dans l'étude des surfaces et des "grandeurs étendues" (variétés) avec les premiers travaux de Riemann et Poincaré : on parlait alors d'analysis situs :

Notion de topologie combinatoire et de topologie algébrique :

La topologie dont il est fait ici exposé de quelques notions de base, est généralement qualifiée de topologie générale ou parfois, mais cette appellation est surannée, de topologie ensembliste car elle vit le jour avec la théorie des ensembles de Cantor et définie axiomatiquement par Hausdorff.

Topologie définie par ses parties ouvertes :

Depuis Hausdorff, la notion d'espace topologique est clairement exprimée de manière axiomatique : une topologie sur un ensemble E est la donnée d'un ensemble de parties de E (dits ouverts de E) vérifiant les trois axiomes suivants :

  1. la réunion de toute famille d'éléments de est un élément de .
  2. l'intersection de toute famille finie d'éléments de est un élément de .
  3. E et sa partie vide, notée Ø, sont éléments de .

Le concept de voisinage d'un point dans un ensemble, au sens intuitif d'entourer, d'être proche (autant que l'on voudra), est à la base de la définition axiomatique des espaces topologiques donnée par Hausdorff et utilisée implicitement par Cantor lors de sa construction des nombres réels.

On peut définir une topologie à partir de ses parties fermées ou par la notion de voisinage :  

Topologie sur un ensemble non vide, voisinages, ouverts et fermés, base :

1. Tout voisinage de x contient x lui-même.
2. L'intersection de deux voisinages de x est un voisinage de x
donc toute intersection finie de voisinage de x est un voisinage de x.
3. Si une partie A de E contient un voisinage de x, alors A est un voisinage de x.
4.
Plus subtil mais indispensable... : Si V est un voisinage de x, il existe un voisinage W de x tel que V soit voisinage de chaque point de W.

V est un voisinage de x  ssi  h > 0, V]x - h, x + h[.

]x - h, x + h[ désignant l'ensemble de nombres réels u tels que x - h < x < x + h, intervalle ouvert au sens élémentaire et topologique.

Partant de cette définition d'une topologie, une partie de E est dite ouverte si elle est voisinage de chacun de ses  points.


Vérifier que cette définition d'un ouvert est effectivement compatible avec celle d'une topologie définie par ses ouverts

On appelle système fondamental (ou base) de voisinages d'un point x de E toute famille F de voisinages de x telle que tout voisinage de x contienne un voisinage de F.

Pus généralement :

Base d'ouverts d'un espace topologique :      

Si l'on note (E,) un espace topologique, désignant les ouverts de E, une base, au sens topologique, de (E,) est une partie B de telle que tout ouvert de soit réunion d'ouverts de B. L'existence d'une base dénombrable pour un espace topologique (ou métrique) facilite son étude. C'est le cas, dans un espace métrique, des boules ouvertes de centres et de rayons rationnels.

  Distinguo entre boule et sphère (géométrie 3D) :

Parties fermées :       

Afin de préciser le concept d'intérieur et d'extérieur, on distingue les parties ouvertes et les parties fermées  : une partie de E est dite fermée, si son complémentaire est un ouvert.

On voit ainsi qu'un espace topologique pourra être défini au moyen de parties déclarées fermées et il s'agira de vérifier que leurs complémentaires (les ouverts) satisfont aux trois axiomes d'Hausdorff, ou bien de montrer directement, par passage au complémentaire (vu les lois de de Morgan A∪B = AB  et  A∩B = AB) :

  1. la réunion de toute famille finie de fermés est fermée;
  2. l'intersection de toute famille de fermés est fermée.
  3. E et sa partie vide Ø sont fermés.


Vérifier dans le cas des intervalles de R, que
ouvert n'est pas le contraire de fermé !  

Adhérence, partie dense, point d'accumulation, point isolé, intérieur, extérieur, espace séparable :

Point adhérent, adhérence et partie dense :      

Dans un espace topologique E, on dit qu'un point x est adhérent à une partie A de E pour signifier que tout voisinage de x rencontre A.

L'adhérence (ou fermeture) de A est l'ensemble des points adhérents à A et se note généralement A  bien que cette notation puisse prêter à confusion avec la négation logique ou la notion de complémentaire en langage des ensembles.

xA il existe une suite (xn) de points de A tendant vers x


Quelle est, dans R, l'adhérence de la suite de nombres un = 1/n lorsque n parcourt N ?

L'adhérence de A est le plus petit ensemble fermé de E contenant A. Les parties fermées sont celles qui coïncident avec leur adhérence :

A est fermé dans E    A = A

On dit qu'une partie A de E est dense relativement à une partie B (ou encore dense dans B) pour exprimer que A contient B. Autrement dit, tout point de B est adhérent à A : BA.

On dit qu'une partie A de E est dense dans E (ou simplement partout dense) pour exprimer que A est dense relativement à E tout entier. Autrement dit, tout point de E est adhérent à A et par conséquent A = E.

P1/ A est partout dense Tout voisinage de tout élément de E rencontre A

P2/ Lorsque E est métrisable : A partout dense Tout élément de E est limite d'une suite d'éléments de A.


i/ Prouver que l'ensemble des nombres irrationnels, complémentaire de Q dans R, est dense dans R.  
ii/ En application du résultat P2/ ci-dessus voir cette page (Partie B, 6°)

Espace topologique séparable :     

On nomme ainsi un espace topologique contenant un partie dense dénombrable. C'est le cas de R contenant l'ensemble dénombrable Q des nombres rationnels. à ne pas confondre avec le concept d'ensemble séparé.

Dans un ensemble séparable, toute famille infinie d'ouverts non vides deux à deux disjoints est dénombrable       

Espace polonais :          Souslin

Dans un espace topologique où tout point possède un système fondamental de voisinages dénombrable (en particulier dans un espace métrique), on a le résultat suivant : 

Valeur d'adhérence :       

On dit que x est une valeur d'adhérence (ou un point adhérent) d'une suite (s) de points d'une partie A d'un espace topologique E pour exprimer qu'il existe une suite extraite de (s) convergeant vers x. Un tel point est donc adhérent à A. La réciproque est vrai si E est un espace métrique.

Point d'accumulation, point isolé :      

Dans un espace topologique E, on dit qu'un point x est un point d'accumulation d'une partie A de E pour signifier que tout voisinage de x contient un point de A autre que x.

A est fermé dans E    A = A    A contient ses points d'accumulation

Le cas réel : point d'accumulation, valeur d'adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass :

Un point x de A est dit isolé s'il existe un voisinage de x ne contenant aucun point de A autre que x : c'est dire qu'il n'est pas un point d'accumulation de A.

Intérieur et extérieur d'une partie, point frontière, frontière :       

L'intérieur de A est le plus grand ouvert inclus dans A, on le note généralement . Cet intérieur peut être vide. On parle aussi parfois d'extérieur de A pour signifier l'intérieur du complémentaire de A.

On appelle frontière d'une partie A de E, l'ensemble des points adhérents à la fois à A et à son complémentaire A dans E (points frontières). Tout voisinage d'un point frontière rencontre A et  A. Si l'on note A la frontière de A, on a :

 
a) Dans R, ]a,b[ et [a,b] ont même frontière : la paire {a,b}.
b) Dans R3, la boule ouverte (ou fermée), de centre O, de rayon r, a pour frontière la sphère de même rayon.

Qualificatifs attribués à certaines topologies :       

Soit E un ensemble non vide. Si on réduit les ouverts à E et Ø, on obtient la topologie grossière. Si on choisit comme ouverts l'ensemble de toutes les parties de E, on obtient la topologie discrète. Les parties fermées sont aussi les parties ouvertes ! Cette topologie est celle contenant le "plus d'ouverts possibles".

Sur un même ensemble, une topologie sera dite plus fine qu'une autre ' si tout ouvert de ' est un ouvert de (la topologie engendre "plus" d'ouverts que '). Inversement ' sera dite moins fine que .

On appelle topologie engendrée par un ensemble Π de parties de E, la topologie la moins fine contenant Π : c'est l'intersection des topologies, en tant que sous-ensembles de P(E), contenant Π.

On ne confondra pas les deux types précédents de topologie (discrète et grossière) avec le concept plus subtil de topologie faible : elle concerne la topologie de la convergence simple du dual topologique d'un espace vectoriel topologique.


Soit E un espace topologique. On dit qu'une suite (xn) de points tend vers un élément x de E ssi :
 pour tout voisinage V de x, il existe un entier NV tel que si n Nv alors xnV.
Montrer que si E est muni de la topologie :
a)
grossière, alors (xn) converge vers tout point de E        
b) discrète, alors (xn) converge vers x ssi xn = x sauf pour un nombre fini de points.

Topologie induite :

Si A est une partie d'un espace topologique E, la topologie induite dans A par celle de E est la topologie dont les ouverts seront par définition les traces dans A des ouverts de E, c'est à dire les intersections A U pour tout ouvert U de E.


Montrer que les parties fermées de la topologie induite sont, en tant que complémentaires des ouverts,
 les traces dans A des fermés de E.

Espace topologique séparé, connexité, chemin :

Un espace topologique E est dit séparé si pour tout couple (x,y) de E x E , il existe un voisinage Vx de x et un voisinage Vy de y d'intersection vide tel que Vx Vy = Ø. Muni de sa topologie usuelle, R est manifestement séparé.

Un espace topologique E est dit connexe s'il n'est pas possible d'écrire E comme réunion de deux de ses ouverts non vides et disjoints. Plus forte est la connexité par arcs :

Si x et y sont deux éléments d'un espace topologique E, un chemin de x à y est une application f continue de l'intervalle [0,1] dans E telle que f(0) = x et f(1) = y. On dira alors que l'espace topologique E est connexe par arcs pour exprimer qu'il existe au moins un chemin entre deux points quelconques de E. Si x = y, on parlera de lacet.

Connexité, notion d'homotopie :

Théorème de prolongement :    

E et F désignant deux espaces topologiques, soient f et g deux applications continues de E vers F.
Si F est séparé et si f et g coïncident sur une partie dense de E, alors f = g.

Espaces topologiques et continuité :

E et F désignant deux espaces topologiques, la définition de la continuité d'une application de E dans F peut s'écrire au moyen du concept de voisinage  :

         
Transcrire cette définition au cas d'une fonction numérique et vérifier la concordance

On remarque que cela signifie que l'image réciproque de tout voisinage de f(xo) est un voisinage de xo. Dire que f est continue sur E signifiera que f est continue en tout point de E.

On a le résultats suivant :

Autrement dit : l'image réciproque de tout ouvert de F est un ouvert de E.  

Topologie de la convergence simple et de la convergence uniforme :

Il s'agit ici d'analyse fonctionnelle : soit E un ensemble, F un espace topologique et l'ensemble des fonctions de E vers F. Dire qu'une suite de fonctions (fn) de E dans F converge simplement vers une fonction f de s'écrira  lim fn = f ou simplement, comme à l'habitude pour les suites, lim fn = f pour exprimer :

Dans le cas numérique d'une fonction réelle ou complexe, nous écririons :

On peut alors définir une partie fermée dans , à savoir :

et vérifier que l'on définit ainsi une topologie dans , dite de la convergence simple.

Dire qu'une série de fonctions Σfn converge simplement signifie que la suite de ses sommes partielles est simplement convergente.

Topologie de la convergence uniforme :    

Soit E un ensemble non vide et F un espace vectoriel normé sur K = R ou C. On note ||  ||F la norme de F. Considérons l'ensemble (E,F) des fonctions bornées de E vers F. On peut munir cet ensemble de fonctions d'une norme notée ||  ||, dite de la convergence uniforme, en posant :

Banach et les espaces normés :                 Weierstrass , Schwartz   

Espaces vectoriels topologiques, notion de dual, bidual :

Un espace vectoriel topologique est un espace vectoriel E sur un corps commutatif K (comme R ou C) muni d'une topologie assurant la continuité de ses lois de composition. En d'autres termes : les applications (u,v)u + v et (k,u)k.u sont continues. On dit que la topologie définie sur E est compatible avec sa structure d'espace vectoriel.

 
Justifier que (E,+) est un groupe topologique

Topologie définie par une norme ou une semi-norme       

Il en est ainsi de tout espace vectoriel dont la topologie est associée à (on dit aussi définie par)  une norme ou une semi-norme ||  || : on peut la définir par ses voisinages ouverts, boules B(u,r) de centre u, de rayon r pour signifier vB(u,r)  || v - u ||< r.

  La seule connaissance des voisinages de O, vecteur nul de E, permet celle des voisinages de tout point de E du fait que les translations tv : uu + v sont alors des homéomorphismes (bijections continues ainsi que leurs réciproques). Il en est de même des homothéties hk : uk.u , donc des dilations dk,v : uk.u + v.

Dual :    

L'ensemble des formes linéaires (resp. linéaires et continues) d'un espace vectoriel (resp. d'un espace vectoriel topologique) est un espace vectoriel appelé dual algébrique (resp. dual topologique) de E. Le dual algébrique est souvent noté E*. Dans le cas d'un evt, le dual topologique E' est sous-espace vectoriel de E*. On a donc E'E*.

Théorème :    

Si E est de dimension finie, alors E et son dual E* sont isomorphes

En effet, si dimE = n, E est isomorphe à Kn de dimension n également. Comme pour toute application linéaire, toute forme linéaire f de E est caractérisée par les images des vecteurs fi (éléments de k) d'une base (ei)i=1,...n de E. Il résulte de cette constatation que f est isomorphe à Kn. D'où le résultat.

Bidual :     

Propriétés importantes :      

Soit E et F deux espaces vectoriels topologiques sur le même corps K de scalaires :

  1. Soit f  linéaire de E vers F. Alors f est continue sur E    f est continue en O, élément nul de E.

  2. Soit f linéaire de E vers K (forme linéaire). Alors f continue sue E f est bornée sur au moins un ouvert non vide de E.

Topologie définie par une famille de semi-normes :      

Lorsque E est un espace vectoriel sur K et l'ensemble des fonctions de E vers K (fonctions scalaires), on remarque que l'ensemble des formes linéaires de E (applications linéaires de E dans K)possède une intéressante propriété : si  f en est un élément, | f | est une semi-norme.


a) Justifier cette dernière assertion : prouver que pour toute forme linéaire f sur E, | f | est une semi-norme sue E.
b) Vérifier que toute combinaison linéaire de semi-normes est une semi-norme.
c) Prouver que si les si sont des semi-normes, alors Σsi, (Σi2)1/2 et Sup si en sont aussi.

On peut définir sur un espace vectoriel (E,+,.) la S-topologie définie par une famille S de semi-normes de la façon suivante : soit S = (si) une famille (finie ou non) de semi-normes sur E. Appelons si-boule de centre a, de rayon r, l'ensemble des x de E tels que si(x - a) < r. On appellera alors boule ouverte de centre a toute intersection de si-boules et sera déclarée ouverte, outre la partie vide, toute partie A de E contenant, pour chacun de ses points a, une  si-boules de centre a.


Vérifier que l'on obtient bien ainsi une topologie vérifiant les 3 axiomes d'Hausdorff

On démontre que lorsque S est finie, de cardinal n, la topologie associée aux semi-normes définies ci-dessus est identique à la S-topologie.

La S-topologie est compatible avec la structure d'espace vectoriel de E. Elle sera si séparée (condition nécessaire et suffisante) pour tout x non nul, il existe au moins une semi-norme s telle que s(x) soit non nul.

Topologie faible :

Lorsque E est un espace vectoriel topologique, on peut le munir d'une autre topologie, à savoir celle associée à la famille des semi-normes f | f | des formes linéaires (continues) de son dual topologique E'. On l'appelle topologie faible sur E (eu égard à celle d'origine, qualifiée alors de forte).

Une suite (xn) de E sera dite faiblement convergente pour exprimer qu'il existe un élément x de E pour lequel la suite f(xn) converge vers f(x) pour toute forme linéaire f de E'.

Si a est donné dans E, l'application a de E' dans K qui à toute forme linéaire f du dual E' topologique de E associe f(a) est une forme linéaire sur E'. La topologie associée à la famille des semi-normes a est également appelée topologie faible sur E'.

On démontre que les topologies faibles ainsi définies sont les topologies les moins fines préservant la continuité des formes linéaires de E'.

Espace topologique compact, localement compact, relativement compact, quasi-compact, paracompact :

Une espace topologique séparé (ou un de ses sous-ensembles) E est dit compact (le terme est de Fréchet, 1906) si l'ayant recouvert par une famille d'ouverts, on peut en extraire une sous-famille finie le recouvrant encore. Par recouvrement, on entend une réunion de parties de E qui égale ou contient l'espace E.

Il s'agit là de la définition actuelle d'un espace compact, supposé séparé, vérifiant l'axiome de Borel-Lebesgue. En fait, la définition de Fréchet, dans le cadre des espaces métriques naissants (objets de sa thèse de 1906) était moins générale et s'identifierait aujourd'hui au fait que E est compact si :

Tout filtre sur E possède au moins un point adhérent

assertion équivalente à l'axiome BL. Cette dernière définition fut retenue par Bourbaki pour définir les espaces quasi-compacts. Si on rajoute la condition de séparation l'espace est dit compact.

Notion de filtre selon Henri Cartan :

Les parties compactes possèdent de "bonnes" propriétés : dans un espace métrique muni de la topologie induite par sa distance, on peut montrer que les parties compactes sont les parties fermées et bornées. En particulier, toute suite de Cauchy y est convergente.

Exemples fondamentaux :        

Si A est une partie compacte d'un espace séparé, alors A est fermé. Si A est contenu dans une partie compacte, on dira que A est relativement compacte. Une espace topologique séparé est dit localement compact si chacun de ses éléments possède (au moins) un voisinage compact.

Tout espace topologique relativement compact est un espace de Baire
Tout espace topologique localement compact à base dénombrable est un espace polonais
 

  Borel , Baire , Souslin              espace polonais

On parle aussi d'espace topologique paracompact (appellation due à Dieudonné, 1944) pour désigner une espace séparé E tel que pour tout recouvrement (Ui) par des ouverts de E, il existe un recouvrement plus fin (Wj) et localement fini.

Par recouvrement , on entend un recouvrement dont chaque élément Wj est inclus dans un élément Ui (ces recouvrements n'étant pas a priori dénombrables). Parlocalement fini, on entend que tout élément x de E possède un voisinage V dont l'intersection avec les Wj n'est non vide que pour un nombre fini d'indices j.

Dans un espace séparé, toute partie fermée est paracompacte. Tout espace compact est paracompact.

  Tietze

Théorème :    

1/ Soit f une application continue d'un espace topologique E dans un espace séparé F, alors :

i/ l'image par f d'une partie compacte de E est une partie compacte de F.
   En particulier dans le cas d'une fonction numérique, l'image d'un intervalle fermé est fermé.

ii/ Si E est compact, f est fermée (l'image de tout fermé est fermé).

  Vocabulaire : on parle parfois d'image continue pour désigner l'image d'un ensemble par une application continue. Dans le cas i/ , on dirait alors simplement l'image continue d'une partie compacte est compacte.

Application propre :    

Soit E un espace séparé et F localement compact. Une application continue f : E F est dite propre si l'image réciproque de toute partie compacte de F est compacte.

Lorsque f est fermée (c'est à dire que l'image de tout fermé de E est fermée dans F), on peut restreindre la définition à l'image réciproque d'un singleton : f : E F est propre ssi l'image réciproque de tout singleton est compacte.

Espace localement euclidien :

Un espace topologique séparé E est dit localement euclidien si tout voisinage d'un point de E est homéomorphe à une boule de l'espace euclidien Rn. On parle également de variété topologique. Concrètement, il en est ainsi de notre bonne vieille planète, surtout avant qu'on ne s'aperçoive qu'elle était ronde (perçu par Thalès) : une petite surface sur la planète peut être assimilée à un disque de R2.

Notions sur les surfaces (au sens euclidien) :   Riemann

La théorie de la mesure :

Le concept de mesure est étroitement liée à la topologie, au calcul intégral, aux probabilités. Mesurer un objet mathématique abstrait est la généralisation de la mesure au sens usuel (longueur, aire, volume). Calculer une probabilité, c'est mesurer les "chances" de réalisation d'un événement (partie d'un ensemble). L'intégrale de Riemann d'une fonction positive mesure concrètement l'aire "sous" la courbe.

Un ensemble abstrait étant donné, il s'agit de définir dans cet ensemble une fonction numérique satisfaisant aux propriétés intuitives de "mensuration", en particulier l'additivité, voire positivité. Mais on ne peut pas mesurer n'importe quoi. Les parties mesurables forment une σ-algèbre, également appelée tribu.

Borel

Lebesgue à profondément remanié et généralisé le calcul intégral en créant une théorie de la mesure universelle applicable à toutes les branches des mathématiques.


  Pour en savoir plus :

  1. Une belle page de S. Tummarello d'introduction à la topologie  :
    http://www.futura-sciences.com/news-conjecture-poincare-revelations-perelman_9975.php
  2. Topologie générale, N. Bourbaki, (niveau master), Éléments de mathématique - Livre III

  3. Topologie générale : Cours de Topologie, par Gustave Choquet, Éd. Masson 1969, 1992

  4. Espaces vectoriels topologiques : Nicolas Bourbaki, Éléments de Mathématique - Livre V, Espaces vectoriels topologiques. Éd. Hermann - Paris, 1974.

  5. Mathématiques, Analyse L3, sous la direction de Jean-Pierre Marco, Pearson Education France, 2009.


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