ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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PONTRIAGUINE (Pontryagin) Lev Semienovitch, russe, 1908-1988

La vie de Pontriaguine est un modèle impressionnant de volonté car il perdit la vue à 14 ans suite à un accident. Il doit son éducation et la réussite de ses études au dévouement exceptionnel de sa mère (son père mourut alors qu'il n'avait que 19 ans) qui le suivit dans la formation en mathématiques qu'il souhaita entreprendre à l'université de Moscou (1925) où il fut le brillant élève d'Alexandrov (1929).

Pontriaguine enseigna à Moscou dès 1935 ainsi qu'à l'institut Steklov des mathématiques de Saint-Pétersbourg (capitale de l'empire russe jusqu'en 1917, ex Petrograd, puis Leningrad sous le régime soviétique).

  Gromov , Vinogradov , Médailles Fields

Ses travaux portèrent sur l'analyse fonctionnelle, la topologie algébrique, la topologie différentielle (topologie des variétés différentielles, cobordisme) avec René Thom, la théorie du contrôle (choix de la meilleure solution pour la stabilité d'un système dont les contraintes sont décrites par un système d'équation aux dérivées partielles). Il reçut le prix Lobatchevski 1966 de l'université de Kazan pour sa contribution fondamentale en ces domaines.

Il apporta des méthodes et des résultats novateurs dans l'étude de la représentation des groupes topologiques commutatifs en définissant la dualité sur de tels groupes localement compacts, cas des groupes de Lie.

Caractère d'un groupe topologique commutatif, caractères de  Dirichlet, dual d'un groupe:

La notion de caractère fut introduite pour la première fois par Dirichlet afin d'établir (1837) la conjecture de Legendre relative aux progressions arithmétiques de nombres premiers.

Théorème de la progression arithmétique :

Caractère d'un groupe :   

Soit (G,*) un groupe d'élément neutre e : on nomme caractère sur G tout homomorphisme continu de G vers le groupe multiplicatif  des nombres complexes non nuls.

Si f est un caractère de G, on a en particulier, f(e) = 1 et pour tout x et y de G : f(x * y) = f(x)f(y). Si x-1 désigne le symétrique de x dans (G,*), on a x * x-1= e, donc f(x)f(x-1) = 1. Par suite f(x-1) = 1/f(x) et | f(x) | = 1.

Par conséquent :   

Tout caractère d'un groupe est un homomorphisme vers le sous-groupe multiplicatif U des nombres complexes de module 1.

  On rencontre très généralement l'usage de la lettre χ (prononcer khi, équivalent à X) pour désigner un caractère de groupe.

 Caractères de Dirichlet, séries et fonction L de Dirichlet :               Hypothèse de Riemann généralisée :

  Dirichlet , Tao , Bombieri , Brun , Green , Zhang

Dual d'un groupe topologique commutatif :   

Si f et g désignent deux caractères de G, l'application définie par h(x) = f(x)g(x) est encore un caractère de G. Posons h = f ^ g : on définit ainsi une loi de composition interne ^ dans l'ensemble G^ des caractères de G et on vérifie facilement que (G^,^) est un groupe commutatif, appelé groupe dual de G.

Lorsque G est localement compact, on peut munir G^ d'une topologie lui assurant la même qualité. Or, pour tout x de G et tout caractère f de G, l'application Φ qui à f associe f(x) est un caractère de G^. C'est dire que Φ est élément de (G^)^, bidual de G. Pontriaguine établit alors le théorème suivant :

Tout groupe topologique localement compact est isomorphe (au sens algébrique et topologique) à son bidual

Ces résultats, et ce théorème en particulier, voient leur application dans les vastes domaines que sont la topologie différentielle, les groupes de Lie complexes et la théorie de la dimension.


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