ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Les célèbres coniques (ellipse, parabole, hyperbole) étudiées par les mathématiciens grecs de l'antiquité (Apollonis de Perge, Menechme, Pappus) peuvent être définies au moyen d'un point appelé foyer (Kepler) et d'une droite (d) dite directrice (Pappus).

Ainsi, une conique est l'ensemble des points M tels que MF/MH = e où H désigne la projection orthogonale de M sur (d) et e un nombre strictement positif donné. Ce nombre e est appelé excentricité de la conique.

La perpendiculaire à (d) passant par F est l'axe focal : il s'agit là de la droite (KF), K désignant la projection orthogonale de F sur (d).

Cette définition permet d'affirmer que (FK) est un axe de symétrie de la conique. Le point S de (FK) vérifiant SF/SK = e est le sommet de la conique. Lorsque e est distinct de 1, il existe deux points S et S' divisant [KF] dans le rapport e : c'est dire que la conique admet un second sommet S'.

Ci-dessus : le cas relativement simple de la parabole, obtenu lorsque e = 1. La tangente en M à la parabole est la médiatrice de [FH].

Équation cartésienne, équation réduite :   

Dans un repère orthonormé d'origine F, l'axe des abscisses étant dirigé par le vecteur KF, en élevant au carré, la relation MF/MH = e se traduit par :

x² + y² = e²(k - x)²             (1)

où k désigne l'abscisse (négative) de K relativement à F.

 Si nous faisons y = 0, il vient x = ± e(k - x) : il s'agit des deux sommets S et S' auxquels il était fait ci-dessus allusion, à condition que e soit distinct de 1 :

x_S = ek/(e + 1) ,  x_S' = ek/(e - 1)

♦  Si e = 1, cas de la parabole, l'unique sommet S vérifiant x_S = k/2 est le milieu de [KF].

♦  Si e ≠ 1, choisissons maintenant le milieu Ω de [SS'], donc d'abscisse ω = ke²/(e² - 1) relativement à F, comme nouvelle origine. L'équation (1) ci-dessus, comme on le constate par le calcul en posant X = x - ω, Y = y, ne possède pas de coefficient en X. En posant ε = e² - 1, donc ω = ke²/ε, on obtient  :

(X + ω)² + Y² = e²(k - X - ω)² = e²(X + k/ε)²

En développant et simplifiant :

X² + ω² + 2ωX + Y² = e²X² + e²k²/ε² + 2kXe²/ε

Finalement :

X²ε - Y² = e²k²/ε           (2)

 ➔  Dans ce cas e ≠ 1, la conique admet donc Ω comme centre de symétrie (X → -X et Y → -Y laissent l'équation invariante). Cette symétrie prouve l'existence d'un second foyer F' symétrique de F par rapport à Ω.

Une conique à centre (ellipse, hyperbole) est donc une courbe algébrique de degré 2 admettant non seulement l'axe focal (l'axe des X potant F et F') comme axe de symétrie mais aussi la perpendiculaire à cet axe passant par son centre Ω, appelé axe transverse (l'axe des Y), ce dernier étant le second axe de symétrie la courbe.

 ∗∗∗
On se donne une unité, un droite (d), un foyer F avec FK = 3, l'excentricité e = 1/2.
Dans le repère (ΩX,ΩY), Vérifier que l'on obtient dans ces conditions : X²/4 + Y²/3 = 1, ellipse représentée ci-dessous.

Cas de l'ellipse et de l'hyperbole :               

i/  En divisant par e²k²/ε, l'équation (2) ci-dessus prend les formes suivantes, dites réduites :

  (ellipse, e < 1)  ou bien :  (hyperbole, e > 1)

ii/ En notant F'(-c,0) et F(c,0) les foyers, on montre alors aisément que :

• si a > b, a² - b² = c², cas de l'ellipse;

• si a < b, a² + b² = c², cas de l'hyperbole;

•  l'excentricité est e = c/a (appliquer la relation initiale MF/MH = e au cas particulier d'un sommet).

iii/  Droites remarquables :

• La droite (FF') est baptisé axe focal.

• La droite perpendiculaire à l'axe focal passant par le centre de la conique est l'axe transverse.

• Les directrices ont pour équations x = ± a²/c.

• L'hyperbole possède deux asymptotes passant par son centre d'équations respectives ay = ± bx. Elle est dite équilatère si a = b. Le centre est alors centre de symétrie de la courbe.

 ➔  Dans le cas de l'ellipse, le cas a = b s'interprète comme un cercle de centre Ω, de rayon a. Lorsque a > b, a est dit demi grand axe, b est le demi petit axe. Si a < b, on échange le rôle de x et de y, ce qui revient à faire une symétrie orthogonale par rapport à la 1ère bissectrice du repère. Les foyers sont alors portés par l'axe des ordonnées du repère (Ω,X,Y).

Dans le cas de l'hyperbole l'échange des rôles de x et de y conduit à une hyperbole dont les foyers seront également portés par l'axe des ordonnées :

 ➔  La définition par foyer et directrice permet de retrouver les relations fondamentales de la définition bifocale :

 MF + MF' = 2a    (» ellipse)           | MF' - MF | = 2a    (» hyperbole)

La définition bifocale de l'ellipse) est utilisée par les jardiniers pour fabriquer de beaux massifs elliptiques : il suffit d'une corde tendue entre deux piquets (les foyers) au moyen d'un troisième qui décrira l'ellipse. L'ensemble de tels points fut étudié géométriquement (indépendamment de l'aspect analytique décrit ci-dessus) par La Hire au 17è siècle.

Résumé des principales caractéristiques de l'ellipse et de l'hyperbole (équations réduites) :   

Étude des tangentes (ellipse, hyperbole, tangente) : »

∗∗∗
Dans le cas de l'ellipse ci-dessus, d'équation X²/4 + Y²/3 = 1, on a : a = 2, b = 3, c² = b² - a², donc c = √5.
Les directrices ont pour équation y = ± b²/c = ± 9/√5.

∗∗∗
On a tracé ci-dessous une hyperbole de foyers F et F', de directrices (d) et (d').
a) Calculer son équation réduite. Rép : x²/4 - y²/12 = 1. Préciser la valeur de a.
b) Vérifier sur cet exemple que MF' - MF = 2a pour tout M de la branche passant par S.

∗∗∗
1  Dans un repère orthonormé,  on considère la courbe d'équation 25x² + 9y² + 50x - 36y -164 = 0.
Montrer que (c) est une conique dont on précisera la nature.
Rép : on se ramène à 25(x² + 2x) + 9(y² - 4y) -164 = 25(x + 1)² + 9(y - 2)² = 15², soit :  X²/9 + Y²/25 = 1 : ellipse de centre Ω(-1;2)

2  Étudier la nature de la courbe définie par 4x² - 9y² + 16x + 18y - 29 = 0
Rép : hyperbole d'équation réduite : (x + 2)²/9 - (y - 1)²/4 = 1. Centre ω(-2;1); sommets S(1;1) et S'(-5;1).
Axe focal : y = 1; Axe transverse : x = -2, e = √(13)/3 Foyers F(√13 - 2;1) et F'(-√13 - 2;1)
Asymptotes : Y = ± 2X/3, soit y = 2x/3 + 7/3 et y = -2x/3 - 1/3

3  Résoudre l'équation différentielle du 1er ordre y + xy = y'(x² + 2x + 2) vérifiant en outre y(0) = √2
Montrer que la courbe intégrale (c) est une portion d'hyperbole
Rep : (c) est la une portion de l'hyperbole d'équation x² - y² +2x +2 = 0

Coniques en tant que courbes algébriques du second degré ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0 :  »

On peut obtenir une équation cartésienne fort simple d'une parabole sous la forme :

y² = 2px

Soit K la projection orthogonale du foyer F sur la directrice (d).  Pour tout point M de la parabole, on a MF = MH. Traçons [KF) : c'est (manifestement) l'axe de symétrie de la parabole.

Notons S le milieu de [KF], sommet de la parabole, SF = SK et posons p = KF > 0. On a M(x,y), F(p/2,0) et (d) : x = -p/2. L'égalité MF² = MH² conduit immédiatement à y² = 2px. Inversement, dans un repère orthonormé d'origine O, toute équation de la forme y² = 2px ou x² = 2py (p > 0) est une parabole de sommet O.

»   Si les rôles de x et de y doivent être échangés (cas d'un axe "vertical") l'équation ci-dessus se ramène à x² = 2py

Le nombre positif  p est le paramètre de la parabole. Vu que MF/MH = 1 pour tout point de la parabole, on remarquera que l'on retrouve p dans le cas particulier d'un point M se projetant orthogonalement en F.

La définition donnée par foyer et directrice, MF/MH = e, permet d'établir l'équation d'une conique en coordonnées polaires, avec le foyer comme pôle. Pour tout point M(r,t) :

   

On obtiendra facilement ce résultat en posant KF = p/e, ^(Fx,FM) = t, r = FM et en remarquant que :

KF = Km + mF = HM - r × cost

• p > 0 est le paramètre de la conique;

• e est son excentricité : parabole (e = 1), ellipse (e < 1), hyperbole (e > 1).

Dans le cas particulier où M se projette orthogonalement en F, vu que MF/MH = e, on aura alors MF/MH = MF/KF = e, donc MF = eKF = p : comme pour la parabole, le paramètre p est la longueur de la demi-corde passant par un foyer et perpendiculaire à l'axe focal (la corde mesure donc 2p).

 ➔  Prendre le foyer comme pôle semble logique eu égard à l'aspect cosmologique : le Soleil, centre de notre système local. Mais on peut préférer le centre de l'ellipse, compte tenu de la symétrie : dans ce cas, en posant x = r.cos t , y = r.sin t, t∈[0,2π], on élève au carré et on reporte dans l'équation réduite x²/a² + y²/b² = 1. Vu que c² = a² - b² (b < a, sinon on échange a et b), on obtient très facilement :

r² = a²b²/(a² - c²cos²t)

ou bien en faisant intervenir l'excentricité e = c/a < 1 :

r² = b²/(1 - e²cos²t)

Pour un tracé, on pourra se contenter de prendre la détermination positive de la racine carrée. En effet, compte tenu de la symétrie par rapport à O, un point M(r,t) se retrouve en M(-r,t) = M(r,t + π). On obtiendra facilement un résultat analogue pour l'hyperbole en partant de l'équation x²/a² - y²/b² = 1 conduisant à : r² = b²/(e²cos ²t - 1)

 !  Dans la recherche de l'équation polaire, partir de l'équation paramétrée x = f(t), y = g(t) et élever au carré pour obtenir x² + y² égalisé à r²
doit être utilisé avec prudence !  »  passage d'une représentation à une autre

∗∗∗ 
Où l'on retrouve l'équation polaire de l'ellipse :
i/ Avec les notations usuelles MF + MF' = 2a de la définition bifocale, on pose MF = r. Prouver que : MF^'2 = r²  + 4c² - 4rc.cos t.
ii/ Déduire de MF + MF' = 2a que r = b²/(a - c.cos t).  iii/ On pose p = b²/a. Retrouver l'équation polaire r = p/(1 - e.cost) (b < a) et p = e × KF. ☼

∗∗∗
On se donne une unité, un droite (d), un foyer F avec FK = 3, l'excentricité e = 1/2. Vérifier dans ces conditions que p = 3/2 puis que r = 3/(2 - cost). Les sommets de l'ellipse sont obtenus pour t = 0 et t = π, d'où S(3,0) et S'(1,π). En déduire le grand axe. Lorsque t = ±π/2, on obtient r = 3/2 : logique, la distance entre ces points est 2p = 3. Placer les points correspondant à t = π/6 et t = π/3 et justifier qu'on obtient pour cette valeur un des sommets B de l'ellipse. En déduire l'expression de l'équation réduite.

 ➔  Le changement de r en - r conduit au symétrique de la conique par rapport à F. Le changement de t en π + t conduit au symétrique de la conique par rapport à l'axe polaire π/2  (» coordonnées polaires). C'est dire que les équations :

                

correspondent à des coniques isométriques.   » complément dans le cas de l'ellipse          » Kepler

Comparativement aux équations réduites de l'ellipse et de l'hyperbole, on a : p = b²/a et e = c/a. Ces formes polaires fournissent une interprétation du cercle comme conique particulière dite dégénérée : e = 0, cercle de centre F, de rayon p.

 ➔   Dans le cas de l'ellipse et de l'hyperbole, on peut aussi prendre le centre comme pôle : pour le calcul, on pourra se reporter au cas de l'ellipse, le cas de l'hyperbole étant semblable au signe près.

L'hyperbole admet deux droites asymptotes (du grec sumptôsis = rencontre) : pour x et y infinis, l'hyperbole se confond avec ces droites. Eu égard à l'équation réduite, leurs équations sont :

y = (-b/a)x et y = (b/a)x

Rapportée à ses asymptotes, c'est à dire prises comme axes du repère, l'équation de l'hyperbole prend la forme simple, dite homographique :

xy = c²/4

On a vu ci-dessus, qu'en prenant comme origine le sommet de la parabole et pour axe des abscisses l'axe focal, l'équation de la courbe est de la forme y² = 2px. On peut obtenir un résultat analogue pour l'ellipse et l'hyperbole à partir de l'équation cartésienne réduite, à savoir, p désignant le paramètre :

y² = 2px + (e² - 1)x²

Le cas de la parabole se retrouve puisqu'alors e = 1.

• Pour l'ellipse, e  = c/a < 1, vu que p = b²/a, e = c/a et a² = b² + c², on peut aussi écrire :
  y² = 2px - b²x²/a² = 2px - px²/a = 2px - (1 - e²)x²      

• Pour l'hyperbole, e = c/a  > 1, vu que p = b²/a, e = c/a et a² + b² = c² :
  y² = 2px + b²x²/a² = 2px + px²/a, 2px + (1 - e²)x²

Afin d'établir ces équations, il suffit de faire le changement de variable menant le centre Ω en S(-a,0), donc de poser X = x + a et Y = y dans l'équation réduite x²/a² ± y²/b² = 1.

 i  On comprend ainsi pourquoi Desargues, qui est à l'origine de la géométrie projective et étudia donc les coniques avec précision, appela défaillement l'ellipse, directement tiré du mot greco-latin d'Apollonius : ellipsis = déficient car on retire px²/a. La parabole était baptisée égalation (on ne retire rien !) et l'hyperbole était dite outrepassement : car on ajoute px²/a.
 

Les coniques à centre ont aussi une représentation paramétrique pratique que l'on peut obtenir au vu de l'équation réduite x²/a² + y²/b² = 1 (cas de l'ellipse) et x²/a² + y²/b² = 1 (cas de l'hyperbole) :

Ellipse :    

 x = a.cos t , y = b.sin t, t décrivant [0,2π]

Le paramètre t est l'anomalie excentrique (le terme est de Kepler). En posant u = tan(t/2), on obtient une paramétrisation rationnelle :

Ellipse : x = 4cos t , y = 3sin t

Hyperbole :    

x = a/cos t  ,  y = b.tan t , t décrivant [0,π].

En posant u = tan(t/2), on obtient une paramétrisation rationnelle :

L'équation de la tangente en un point M_o(x_o,y_o) d'une courbe f(x,y) = 0 est donnée par :

y - y_o = y'_o(x - x_o)

•  Cas de l'ellipse x²/a² + y²/b² = 1 : on a, en dérivant par rapport à x , la relation 2x/a² + 2yy'/b² = 0, c'est dire que y'_o = -b²/a² × x_o/y_o. en reportant dans l'équation de la tangente, on est conduit immédiatement à  cette formule facilement mémorisable, dite du dédoublement des variables, principe également valable pour l'hyperbole et la parabole :

Lorsque l'ellipse est définie paramétriquement, on obtient les équations u = tan(t/2) :

Propriétés géométriques de la tangente à l'ellipse : »

•  Cas de l'hyperbole x²/a² - y²/b² = 1 :  un calcul rigoureusement analogue fournit :

Lorsque l'hyperbole est définie paramétriquement, on obtient les équations :

Propriétés géométriques de la tangente à l'hyperbole :  »

•  Cas de la parabole y² = 2px : on vérifiera aisément que la tangente en M_o(x_o,y_o) a pour équation