ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Convergence de la série de Riemann dans le cas s réel
     par comparaison à une intégrale et par une méthode purement algébrique

Approche analytique : La convergence de la série de Riemann  de terme général 1/ns (s > 0) s'établit facilement, pour s supérieur à 1, par comparaison à l'intégrale de la fonction f : x 1/xs = x-s sur l'intervalle [1,+[. f décroît strictement et on a pour tout p : . L'aire correspondant à la somme de la série est indiquée en jaune.

Par suite :

On voit que la série de Riemann converge pour s > 1. La majoration est alors s/(s - 1). Le cas s = 1 est divergent, il correspond à la série harmonique.

  La somme, lorsqu'elle existe est la célèbre fonction ζ de Riemann dont on soupçonne dans le cas où s est complexe, z = a + bi, de ne posséder que des zéros sur la droite a = 1/2 : c'est la non moins célèbre hypothèse de Riemann.

Une autre approche :

Approche algébrique : L'étude qui suit est empruntée à un exercice de G. Lefort dans son livre « Algèbre et Analyse, exercices » illustrant le cours de Mathématiques générales de C. Pisot et M. Zamanski, Éd. Dunod, Paris - 1964.

Soit (un) une suite numérique positive et décroissante vers 0. On note Sn la somme de ses n premiers termes (n 1). On pose :

i/  p désignant un entier naturel fixé au moins égal à 1, si  2p + 1 n 2p+1, on a, par décroissance des un :

ii/ Par sommation membre à membre, on a 2p+1 - (2p + 1) + 1 = 2p termes, ce qui conduit à :

 

c'est à dire :

iii/ On en déduit les inégalités successives :

et par sommation membre à membre, il vient :

 

4i/  On voit donc par cette double inégalité, que les Σun et Σvn sont de même nature.

Choisissons alors un = 1/ns, on aura vn = 2n 1/(2n)s = 1/(2n)s-1 = (1/2s-1)n. La suite (vn) est donc géométrique, de raison 1/2s-1, convergente (vers 0) pour 1/2s-1 < 1, soit pour s > 1.

Remarque :    

   Lorsque Σun et Σvn convergent, les encadrements précédents montrent qu'entre la somme S = Σun et la somme S' = Σvn existe la relation :

S2 + S' ≥ S  ≥  S2 + (S' - v1)/2

Calcul de ζ(2) = π2/6 1,64  :


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