ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

FUCHS Lazarus, allemand, 1833-1902

Fuchs étudia à Berlin où Weierstrass et Kummer supervisèrent sa thèse (1858) portant sur la courbure des surfaces. Il professa principalement à Berlin (où il commença et termina sa carrière), Göttingen et Heidelberg.

Mis à part ses premières recherches en géométrie différentielle et en théorie des nombres, ses recherches portèrent sur la résolution des équations différentielles où il revisite les travaux de ses illustres prédécesseurs comme Cauchy, Gauss et Riemann. Son étude des solutions singulières (fonctions fuchsiennes) d'équations différentielles linéaires, sera complétée par Poincaré (à qui l'on doit d'ailleurs l'appellation fuchsiennes) au sein d'une théorie complète. On lui doit aussi une classification des équations différentielles du 1er ordre. Fuchs dirigera le célèbre journal de mathématiques pures et appliquées fondé par Crelle.

  Picard , Painlevé

Points singuliers de type Fuchs :    

Considérons l'équation différentielle :

y" + A(x)y' + B(x)y = 0

Il peut y avoir des soucis lorsque pour certaines valeurs de x les fonctions A et B ne sont pas définies. En particulier si A ou B possèdent des pôles, à savoir des valeurs α rencontrés dans des formes C(x)/(x - α), C ne s'annulant pas en x = α.

Fuchs étudia ce type de singularités. En se ramenant à α = 0, on parle de point singulier de type Fuchs en x = 0, pour exprimer que les fonctions xxA(x) et xx2B(x) sont analytiques (développables en série entière). Cette définition s'entend également au cas d'une variable complexe.

Plus généralement, pour une équation différentielle linéaire d'ordre n :

y(n) + A1(x)y(n-1) + A2(x)y(n-2) + ... + An(x)y = 0,

les fonctions Ak ont un pôle d'ordre inférieur ou égal à k en x = 0.

Équation de Riemann :      Points singuliers isolés d'une fonction holomorphe :

 
Équations différentielles linéaires :
du 1er ordre, du second ordre

Fonctions fuchsiennes :    

Rappelons ( Laurent) qu'une fonction complexe f est dite méromorphe sur un ouvert connexe de C si elle est holomorphe (i.e. dérivable) sauf en des points isolés qui sont des pôles pour f. La théorie de ces fonctions et celle des résidus fut développée par Cauchy et Laurent.

Une fonction automorphe généralise le concept de fonction elliptique à variable complexe (étudié tout particulièrement Abel et Weierstrass). C'est une fonction méromorphe f vérifiant f(z) = f[T(z)] où T décrit un groupe G d'automorphismes comme celui des transformations homographiques, souvent appelées transformations de Möbius :

On dira qu'une telle fonction f est invariante par G. Les fonctions fuchsiennes constituent une classe particulière de fonctions automorphes. On pourra lire, en référence ci-dessous, une approche instructive sur ce sujet :

   Pour en savoir plus :

Laurent , Taniyama


Clebsch  Laguerre
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