ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

SKOLEM Thoralf Albert, norvégien, 1887-1963

Fils d'instituteur, Skolem commença ses études à Christiania, ancien nom (jusqu'en 1925) de la ville d'Oslo, capitale de la Norvège. Il y obtient une première thèse en 1913 portant sur la logique algébrique. Il complète ses études à Göttingen.

De retour à Oslo, Skolem obtient un poste d'enseignement et se lance à 35 ans dans la préparation d'une seconde thèse portant sur la résolution d'équations et inéquations en nombres entiers (équations diophantiennes) dans laquelle il développe des algorithmes p-adiques (Axel Thue, décédé en 1922, fut le premier directeur de sa thèse). Skolem fut professeur à l'université d'Oslo jusqu'en 1958. Il meurt subitement en mars 1963.

Outre la théorie des nombres, la contribution majeure de ce "logicien" porte sur la théorie des langages axiomatiques des ensembles et sur les fondements de l'analyse et de l'arithmétique construits sur des axiomes récursifs (Les fondations de l'arithmétique élémentaire, 1923) : au sens élémentaire, un objet mathématique (concept, fonction) est défini par un algorithme permettant de l'exhiber à l'issue d'un nombre fini d'étapes (instructions, opérations) et faisant éventuellement appel à l'objet lui-même. Le terme récursif n'est pas encore utilisé, ce sera le fait de Gödel, Skolem parle de méthode récurrente (Begründung der elementaren Arithmetik durch die rekurrierende Denkweise = Les fondations de l'arithmétique élémentaire par une voie récurrente e la pensée) :

Notion de fonction récursive en logique et en informatique :              Rózsa Péter , Kalmár, Gödel , Kleene

Ces idées novatrices seront utilisées par Gödel dans l'étude des propositions et des théories décidables ou non. La théorie des ensembles dite ZF ou ZFC (Z pour Zermelo, F pour Fraenkel, C pour axiome du choix) devrait aussi comporter le nom de Skolem puisque ce dernier contribua (1922-23) à préciser les dits axiomes afin d'évincer les divers paradoxes découverts par l'usage de la première théorie des ensembles de Cantor qualifiée parfois, eu égard aux profonds remaniements dont elle fut l'objet, d'élémentaire ou de naïve.

  Zermelo , Fraenkel

Dans le cadre de l'étude des ensembles et groupes ordonnés, on lui doit la notion de treillis (Om konstitutionen av den identiske kalkuls grupper, 1913). Sur le site de l'APMEP, on pourra consulter l'article de Bernard Monjardet (Université Paris I) :

La construction des notions d'ordre et de treillis :

Théorème de Skolem-Löwenheim (1919), paradoxe de Skolem :

En théorie des langages, dans le cadre de la méthode axiomatique et du fondement des mathématiques, sujet fondamental conséquence du bouleversement engendré par la théorie des ensembles de Cantor, Skolem généralisa un théorème de Löwenheim énoncé quatre ans plus tôt :

Si F1, F2, ..., Fn  désigne une suite de formules du premier ordre du calcul des prédicats, alors : ou bien certains des Fi (non Fi) sont démontrables, ou bien l'ensemble des Fi peuvent être satisfaites dans un domaine dénombrable (par détermination appropriée de leurs variables dans ce domaine).

Par théorie du premier ordre, on entend une théorie axiomatique fondée sur la logique propositionnelle classique ( Aristote) et le calcul des prédicats ( Frege) dans laquelle les variables soumises à quantification (∃, ∀, Peano) sont toutes de même nature.

 Frege et le calcul des prédicats :

Dans le cadre de la théorie des modèles de Tarski et Robinson, on peut énoncer plus simplement :

Toute théorie axiomatique du premier ordre admettant un modèle admet un modèle fini ou dénombrable.

Ce résultat n'est pas sans induire quelque questionnement :

Paradoxe de Skolem :             

La théorie des ensembles de Cantor est fondée sur la logique élémentaire du tiers exclu. Elle a connu des paradoxes célèbres comme celui de Russel lié au symbole d'appartenance. Pour y remédier Zermelo et Fraenkel (en particulier) l'ont reconstruite sur une axiomatique les faisant en principe disparaître. C'est une théorie du 1er ordre. Skolem, sceptique, applique alors son théorème à cette nouvelle axiomatique en lui adjoignant l'axiome du choix (théorie ZFC).

Si une telle théorie est consistante (son axiomatique n'engendre pas de contradiction interne), alors, selon le théorème de Gödel-Henkin, elle admet un modèle. Et selon le théorème de Skolem, elle en admet un qui est dénombrable, ce qui apparaît paradoxal : Cantor montre au moyen du langage de sa théorie, et de façon compatible avec ZFC, qu'il existe des ensembles non dénombrables, l'ensemble R des nombres réels en particuliers :

Comment un modèle dénombrable peut-il être susceptible de contenir et décrire des ensembles qui ne le sont pas ?

Skolem ne voit cependant pas là un véritable paradoxe. Il s'en explique dans son Abstract set theory (Chapitre. 11 de l'édition de 1962, lien in fine sur le site projecteuclid.org) :

Théorème de compacité :

Théorème de Skolem-Noether (1927) :

Établi en 1927 par Skolem, ce théorème réapparait indépendamment chez Emmy Noether.

Si E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif, alors tout automorphisme
de l'algèbre (E) des endomorphismes de E est intérieur.

Plus généralement : rappelons qu'une algèbre associative de dimension finie (son espace vectoriel sous jacent est de dimension finie) sur un corps commutatif K est dite simple si elle possède des idéaux  non triviaux (non réduits elle-même ou 0). Elle est dite centrale si son centre est K. Dans ces conditions :

Tout automorphisme d'une algèbre centrale simple est intérieur.

Notion d'algèbre , Automorphisme intérieur

 Pour en savoir plus :


Ramanujan  Steinhaus
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