ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

HURWITZ Adolf, allemand, 1859-1919

Ne pas confondre ce mathématicien allemand avec le mathématicien polonais Witold Hurewicz (1904-1956).

Adolf Hurwitz étudia à Munich, Berlin et Leipzig où il obtint son doctorat dirigé par Klein, portant sur les fonctions modulaires (1881).

Il fut professeur en les célèbres universités de Göttingen, de Königsberg (Kaliningrad) où il connut Hilbert, et à l'École polytechnique de Zurich (1892) qui hébergèrent les plus grands mathématiciens allemands avant l'apparition du nazisme.

Les travaux d'Hurwitz furent influencés par ceux de son maître Felix Klein. Il s'intéressa ainsi principalement aux structures algébriques fondamentales, à la théorie des courbes algébriques, aux  fonctions elliptiques et modulaires qu'il appliqua à la théorie des nombres algébriques eu égard aux travaux de Kronecker.

Quaternions d'Hurwitz :

Lorsque les composantes a, b, c et d d'un quaternion a + bi + cj + dk sont choisis dans l'anneau Z des entiers relatifs, on obtient non plus un corps mais un anneau : quaternions de Lipschitz.

On appelle quaternion d'Hurwitz un quaternion dont les quatre composantes sont soit dans Z soit dans ½ + Z (nombres de la forme ½ + n, nZ). Ils constituent un anneau euclidien (donc factoriel).

Hamilton et les quaternions :

Un théorème d'Hurwitz (approximation diophantienne, 1891) :

Si x est un irrationnel positif, il existe une infinité d'approximations rationnelles de x de la forme a/b telles que :

et si x est distinct du nombre d'or Φ, soit x (1 + 5)/2, et de ses composés élémentaires dans Q(Φ) la majoration devient :

Ce résultat complète celui de Legendre relatif à l'approximation d'un nombre irrationnel par une fraction continue.

Corps quadratiques Q(k) :    

Dans le cas du développement de x en fraction continue, les réduites an/bn vérifient cette inégalité qui permet d'arrêter le développement avec toute la précision voulue.

  Diophante , Euler , Brouncker , Lambert , Hermite , Roth             

Pour en savoir plus :

  1. ABRÉGÉ D'HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES, 1700-1900, Jean Dieudonné et une équipe de mathématiciens
    Ch VIII, Approximations diophantiennes par W. et F. Ellison, Ed. Hermann, Paris - 1992

  2. Histoire d'algorithmes : Du caillou à la puce, Ch. 1, par une équipe d'enseignants
    (IREM, IUFM, CNRS) - Éd. Belin - Collection Regards sur la science - 1993.

  3. Arithmétique et théorie des nombres, par Jean Itard, Que Sais-je n°1093, Ed. P.U.F., Paris.

  4. Construction de nombres transcendants par Maurice Mignotte (Faculté des sciences d'Orsay, 1973).
    http://portail.mathdoc.fr/PMO/PDF/W_WALDSCHMIDT-169_3.pdf

  5. Arithmétique, quaternions et quaternions d'Hurwitz, par W. Stein, Univ. Washington :
    http://modular.math.washington.edu/edu/2010/414/projects/hoon_kwon.pdf

  6. Introduction to number theory, approximations diophantiennes par Martin Klazar : http://kam.mff.cuni.cz/~klazar/ln_utc.pdf


Hölder  Pick
© Serge Mehl - www.chronomath.com