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Polynômes de Legendre         polynômes d'approximation : généralités

Ce sont les polynômes, notés ici Pn , de degré n, vérifiant Pn(1) = 1 et définis sur l'intervalle [-1,1] orthogonaux pour le produit scalaire (cf. exercice 1) de densité = 1 :

Ces polynômes, issus de travaux de Legendre en théorie du potentiel se rencontrent dans la recherche des solutions de l'équation de Laplace, dites fonctions harmoniques. Ils ont donc un rôle important en physique mathématique.

Équation de Laplace, notion de potentiel :

Ils sont utilisés pour l'approximation en moyenne quadratique des fonctions sur un intervalle [a,b], que l'on ramène à [-1,1] par changement de variable :

ainsi que pour le calcul approché des intégrales.

Approcher une fonction f en moyenne quadratique par une fonction g sur [a,b] consiste à minimiser la valeur moyenne de l'erreur quadratique (f - g)2 sur cet intervalle. Ce principe est à rapprocher de la méthode des moindres carrés pour une série de nombres.

Concrètement, on veut minimiser les aires comprises entre Cf et Cg donc l'intégrale de | f - g | sur l'intervalle [a,b], ce qui est souvent difficilement calculable (on parlerait alors de convergence en moyenne). On préfère alors remplacer | f - g | par | f - g |2 , c'est à dire par (f - g)2, ce qui conduit à la notion d'erreur quadratique moyenne pour les fonctions de carré intégrable :

Théorème de Stone-Weierstrass :

On peut calculer les polynômes de Legendre de proche en proche :

Pour n > 0, on a la formule de récurrence :

   (n + 1)Pn+1(x) = (2n + 1)x.Pn(x) - nPn-1(x)   

Génération directe :

On peut obtenir directement les polynômes de Legendre au moyen de la formule de Rodriguès :

 

et la fonction génératrice qui est à l'origine de ces polynômes est :

 Remarquons que si n est distinct de k, alors, au sens du produit scalaire

 nous avons <Pn, Pk> = 0 et,  sinon : <Pn, Pn> = 2/(2n+1).

C'est dire que les Pn constituent un système orthogonal pour ce produit scalaire et qu'on peut le rendre orthonormal en posant :

Maintenant si une fonction f admet un développement polynomial, au sens de Legendre :

f(x) = aoPo(x) + a1P1(x) + a2P2(x) + … + anPn(x) + …

alors, par multiplication par Pn(x) et intégration sur [-1,1], on obtient aisément :

Ce même principe conduit aux coefficients de Fourier d'une fonction 2π-périodique.


Pour en savoir plus :


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