Généralités sur les polynômes orthogonaux

L'approximation des fonctions à valeurs réelles ou complexes est un difficile chapitre de l'analyse numérique que l'on rencontre dans de nombreux problèmes issus des sciences physiques depuis Daniel Bernoulli et conduisant à des équations différentielles ou aux dérivées partielles (potentiel, équation des cordes vibrantes, équation de la chaleur).

En dehors de quelques cas élémentaires, les solutions de telles équations ne peuvent s'obtenir par simples quadratures et les solutions sont recherchées sous forme d'un développement en série. Le développement en série de Fourier et la formule de Taylor peuvent être des réponses à ces problèmes mais leurs convergences peuvent s'avérer lentes ou leur emploi inadapté.

On remarquera que ces exemples de développement permettent d'écrire, sous certaines conditions de convergence et de régularité de la fonction f à développer :

où les Φ_k(x) désignent des polynômes (algébrique ou trigonométrique) linéairement indépendants. La fonction f apparaît donc comme un vecteur d'un espace vectoriel F de dimension infinie que l'on cherche à approcher par une combinaison linéaire finie Σa_kΦ_k(x) d'éléments d'un sous-espace de F qu'il s'agira de déterminer afin d'optimiser l'approximation.

Densité associée à un produit scalaire dans un espace fonctionnel :  

Dans la pratique, si F est l'espace vectoriel des fonctions réelles continues sur un intervalle J = [a,b], que l'on peut ramener à [-1;1] par changement de variable affine u : x→a + (b - a)x, on peut définir un produit scalaire et une distance de la façon suivante :

                  »  Produit scalaire, exercice 1

où la fonction p est la fonction de poids ou la densité associée à ce produit, et qui est choisie de façon convenable eu égard au problème considéré.

La norme de || f || est alors définie par || f ||² = <f,f> et la distance de f à g par d(f,g) = || f - g ||. Posons ensuite :

On définit ainsi la norme de la convergence uniforme. On est alors plongé dans un espace de Hilbert et il s'agit alors de déterminer une fonction polynôme g de U qui minimise || f - g ||_∞ sur l'intervalle [-1;1] dont l'existence est assurée par le théorème de Stone-Weierstrass. Le polynôme g est appelé polynôme de meilleure approximation de f dans U pour la norme considérée.

Pour des raisons de commodité de calcul, il serait bon que les Φ_k soient orthogonaux, voire normés : ils constitueraient alors un système orthonormal et dans ce cas, le calcul d'un coefficient a_i dans le développement de f sera donné par :

Or, le procédé de Gram-Schmidt permet de construire une base orthonormée au moyen des Φ_k.

 ➔  Lorsque l'intervalle J n'est pas borné, par exemple J = [0;+∞[ ou J = ]-∞;+∞[, il s'agira de se placer dans l'espace vectoriel F des fonctions f pour lesquelles l'intégrale

est convergente. Si p(x) = 1 pour tout x, il s'agira du très important cas des fonctions de carré intégrable.

Les polynômes orthogonaux sur J = [-1;1] jouissent de propriétés semblables comme :

• tout polynôme orthogonal P_n de degré n possède n zéros distincts z₁, z₂ , ... z_n. Et si on pose : x_o = -1, x₁ = z₁; ... x_n = z_n et x_n+1 = 1, alors tout intervalle [x_i ; x_i+1] contient un et un seul zéro de P_n+1

• tout polynôme orthogonal P_n a même parité que n : P_n(-x) = (-1)ⁿP_n(x);

• pour une densité p donnée, on a P_n+1(x) -xP_n(x) + d_n.P_n-1(x) où d_n est le coefficient positif calculé par :

Quelques exemples de polynômes orthogonaux :     

Polynomes de :	intervalle	densité	récurrence
Tchebychev (1er ordre)	[-1 ; 1]		Tn+1(x) - 2x.Tn(x) + Tn+1(x) = 0 équation différentielle : (1 - x2)y" - xy' + n2y = 0
Legendre	[-1 ; 1]	1	(n + 1)Ln+1(x) - (2n + 1)x.Ln(x)+ nLn-1(x) = 0 équation différentielle : (1 - x2)y" - 2xy' + n(n + 1)y = 0
Hermite	]-∞; +∞[		Hn+1(x) - 2x.Hn(x)+ 2nHn-1(x) = 0 équation différentielle : y" - 2xy' + 2ny = 0
Laguerre	[o ; +∞[	xαe-x, α entier α = 0, densité e-x	(n + 1)Ln+1(x) + (x - α - 2n - 1).Ln(x) + (α + n)Ln-1(x) = 0 (n + 1)Ln+1(x) + (x - 2n - 1).Ln(x) + nLn-1(x) = 0 équation différentielle : xy" + (1 - x)y' + ny = 0

---

 ➔   Pour en savoir plus :

• Méthodes numériques, par N. Bakhvalov - Analyse, Algèbre, équations différentielles, Ed. Mir - Moscou - 1976.

• Cours de mathématiques, Tomes 1 et 2, par J. Bass, Ed. Masson - Paris -1964

• Intégration & Analyse hilbertienne, A. Guichardet , Éd. Ellipses X École polytechnique, Paris, 1989

• TRAITEMENT D'ALGORITHMES PAR ORDINATEUR, Tome 2, par Louis Léon ENSTA
  Ecole Nationale Supérieures de Techniques avancées, Cepadues-Ed. Toulouse, 1983

• Encyclopædia Universalis, Dictionnaire des mathématiques - Algèbre, Analyse, Géométrie - Ed. Albin Michel - Paris - 1997

---

© Serge Mehl - www.chronomath.com