ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 RIESZ
Frigyes (Frédéric),
hongrois, 1880-1956 |
! On ne le confondra pas avec son frère Marcel Riesz,
également mathématicien (1886-1969).
Fils de médecin, Riesz fit ses études à Zürich et à Budapest, où il obtint son doctorat portant sur les courbes algébriques (1902). Il se rendit à Paris et à Göttingen avant d'obtenir un poste à l'université de Kolozsvàr (ex Klausenburg, aujourd'hui Cluj-Napoca au nord-ouest de l'actuelle Roumanie), laquelle est déplacée à Szeged (1920), où il fonde un institut mathématique auquel il donne le nom Janos Bolyai en hommage à son compatriote géomètre (à qui l'on doit l'étude de géométries non euclidiennes). Riesz est le fondateur, avec son ami Alfred Haar, de la revue mathématique Acta Scientiarum Mathematicarum.
Avec Fejèr, son compatriote et ami, ses travaux portent en analyse sur les fonctions harmoniques, en liaison avec la physique et le calcul des variations et, poursuivant les travaux de Hilbert, on lui doit plusieurs théorèmes fondamentaux en analyse fonctionnelle, dont la définition et l'étude (1907-1910) des propriétés des espaces Lp des (classes de) fonctions de puissance p-ème intégrable (p ≥ 1) au sens de Lebesgue. En topologie, dans le cadre des espaces de Hilbert, ses travaux porteront sur la dualité dans les espaces vectoriels topologiques.
| Espace de Riesz : |
On nomme ainsi un espace vectoriel ordonné E (muni d'une relation d'ordre compatible avec les lois de E) conférant à E la structure d'ensemble réticulé, c'est à dire tel que toute paire {x,y} d'éléments de E admette une borne supérieure et une borne inférieure.
Exemple :
Considérons l'ensemble F des fonctions numériques définies sur un ensemble J de R. C'est un espace vectoriel. Posons f ≤ g pour exprimer que pour tout x dans J, on a f(x) ≤ g(x). On définit ainsi une relation d'ordre dans F et cet ensemble est réticulé : c'est un espace de Riesz.
En effet, en définissant :
les fonctions m = inf(f,g) et M = sup(f,g) sont respectivement les bornes inférieure et supérieure de la paire {f,g}. Avec ces notations, on remarque que la fonction valeur absolue de f, notée | f | peut être définie par | f | = sup(f,0) - inf(f,0). On a en outre f = sup(f,0) + inf(f,0).
∗∗∗
On parle d'espace de Riesz E
complètement réticulé
pour exprimer que toute partie majorée non vide de E admet une borne supérieure
dans E. Montrer que si E est complètement réticulé, toute partie minorée
non vide de E admet une borne inférieure dans E.
| Un théorème de Riesz relatif aux espaces vectoriels topologiques (1918) : |
Tout espace vectoriel normé localement compact est de dimension finie
➔ Par localement compact, on entend que tout point possède un voisinage compact. Dans un espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes. On peut en déduire que tout partie compacte convexe, d'intérieur non vide, d'un espace de dimension finie, est homéomorphe à la boule unité de cet espace.
| Espaces Lp et L2 et théorème de Fischer-Riesz, dit aussi de Riesz-Fischer : |
Lorsque X désigne un espace topologique muni d'une mesure μ, on note L
p(X) l'ensemble des (classes de) fonctions μ-mesurables sur X, à valeur dans R ou C, dont la puissance | f |p est intégrable au sens de Lebesgue (p > 0). Par définition, ces fonctions sont donc finies presque partout. Le cas p = 1 correspond aux (classes de) fonctions μ-intégrables ci-dessus. Dans le cas p = 2, on parle de fonctions de carré intégrable.On munit Lp(X) de la semi-norme :
|| ||p n'est qu'une semi-norme sur l'espace vectoriel Lp(X) car elle ne vérifie pas l'axiome de nullité : || f ||p peut être nulle alors que f est non nulle. Pour cette raison, on définit dans l'espace Lp(X) la relation f ~ g ⇔ f = g presque partout.
C'est une relation d'équivalence et {f / || f ||p = 0} = {f / | f(x) |p = 0 pp} = {f / | f(x) | = 0 pp} = {f / f(x) = 0 pp}. Par suite f ~ g ⇔ f - g∈Nμ, noyau de μ, ensemble des fonctions µ-négligeables. Or, Nµ est clairement un sous-espace vectoriel de Lp(X); par conséquent en se plaçant dans l'espace quotient
Lp(X)/Nµ, on obtient un espace vectoriel normé, encore noté Lp(X), lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté : espace des (classes de) fonctions mesurables de puissance p-ème intégrable.» Noter que parler de fonction de puissance p-ème intégrable est, en toute rigueur, incorrect vu que p n'est pas nécessairement entier. Mais cet abus de langage est utilisé par tous les auteurs y compris Bourbaki !
|
Théorème de Fischer-Riesz (1907) : |
»
Fischer
L'espace vectoriel normé L2(R) des fonctions réelles de carré intégrable au sens de Lebesgue est complet. Toute suite de Cauchy dans L2(R) converge donc dans L2(R).
L'espace L
2(R) est donc un espace de Banach, espace vectoriel normé complet, et muni du produit scalaire défini par :
c'est un espace de Hilbert. La topologie induite par la norme || f ||2
= (<f,f>)1/2 est celle
dite de
la convergence en moyenne quadratique.
Polynômes de Legendre : »
En corollaire du théorème de Fischer-Riesz, on peut énoncer un intéressant résultat sur la convergence des séries de Fourier dans l'espace L2([0,2π]) comparé à l'espace l2(Z) des suites complexes (un) indexées par Z telles que
Σ|un|2 < +∞ :Espaces L2 et séries de Fourier : » » Parseval , Plancherel , Hölder , Minkowski
➔ Pour en savoir plus :
, A. Guichardet , Éd.
Ellipses X École polytechnique, Paris, 1989
Tietze