ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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KLEIN Felix, allemand, 1849-1925

A l'instar d'Abel et de Galois, Felix Klein est un jeune prodige puisqu'il entre à l'université de Bonn à 16 ans où il fut l'élève de Plücker (en physique) et de Lipschitz (en mathématiques) et sous la direction desquels il obtint son doctorat en 1868.

Klein effectua de nombreux séjours en France où il rencontra Jordan et Darboux qui influencèrent ses futurs travaux. Il enseigna dans plusieurs universités allemandes dont Erlangen (1872-75), Munich et Leipzig (1880-86).

  Pour la petite histoire, Klein épousa Anna Hegel, la petite-fille du célèbre philosophe allemand Georg W. F. Hegel (1770,1831), à qui l'on doit, en particulier, la Phénoménologie de l'esprit et La science de la logique.

Fondateur des Mathematische Annalen (1876) et de l'institut de mathématiques appliquées de Göttingen (1886), il y enseigna jusqu'en 1913, cédant sa chaire à Caratheodory.

Klein est considéré comme l'un des plus brillants mathématiciens de sa génération. Outre sur la géométrie qu'il soumet à la théorie des groupes (programme d'Erlangen, 1872), ses travaux portèrent sur la théorie des fonctions algébriques confortant les travaux de Riemann sur les surfaces portant son nom : Riemanns Theorie der algebraischen Funktionen und ihre Integrale (1882).

Épilogue des géométries euclidienne, projective et non euclidiennes :

Sur une idée de Ludwig F. H. von Helmholtz (physicien, 1821-1894), qui se pencha sur les géométries non euclidiennes dans le cadre de la mécanique), Klein, encouragé par Jordan qui l'initie à la théorie des groupes, étudie l'application de cette théorie algébrique à la géométrie.

L'objectif est de caractériser les géométries affine, métrique et projective (euclidiennes ou non) par un groupe de transformations dont elles seraient l'étude des invariants par ce groupe : programme d'Erlangen, 1872. On doit ainsi à Klein, suite aux premiers travaux entrepris par Beltrami, une claire classification des géométries.

Groupes de transformations et invariant de groupe :        

Lorsque E désigne un ensemble de points d'un espace géométrique (espace affine), une bijection de E sur E sera plutôt appelée transformation de E et on appellera groupe de transformations un ensemble G de transformations de E qui, muni de loi de composition des applications, est un groupe.

C'est en fait à Sophius Lie, ami de Klein, que l'on doit l'idée de ces groupes et de la notion d'invariant lors de travaux sur les équations différentielles et la constatation de l'invariance de ces équations par certaines transformations continues.

Le danois Julius Petersen, contemporain de Klein fut l'auteur d'un intéressant traité sur les constructions géométriques faisant usage de la notion de transformation.

Dans le plan, on peut considérer le groupe des similitudes, lesquelles contiennent le groupe des isométries. Le groupe des similitudes est le groupe principal de la géométrie euclidienne. Qu'est-ce à dire ?

Euclide base sa géométrie sur la symétrie (centrale ou axiale), les cas d'égalités des triangles (figures superposables), les triangles semblables, c'est à dire sur la conservation des distances ou des rapports de distances. comme le fit Petersen, on peut ainsi ramener tout raisonnement euclidien à l'étude des symétries, des translations, des homothéties, des rotations et de leurs composés, soit finalement une similitude dont l'expression analytique dans le plan complexe est on ne peut plus simple : z' = az + b (similitude directe) ou bien z' = az + b (similitude indirecte), a et b complexes.

On vérifie très facilement que les similitudes constituent un groupe pour la loi de composition des applications (contenant le groupe des isométries) et que les propriétés des figures de la géométrie euclidienne ne sont pas altérées par ces transformations : elles sont invariantes par tout élément du groupe principal.

z' = az + b

z' = az + b


  • a = 1 : translation  ,  a = -1 : symétrie centrale
  • a réel distinct de 1 et - 1 : homothétie
  • a complexe , | a | = 1 : rotation
  • a complexe,  | a |   1 : similitude directe(composée d'une rotation et d'une homothétie)
  • | a | = 1 : symétrie axiale
  • | a |   1 : similitude indirecte (composée d'une symétrie axiale et d'une homothétie)

Invariant géométrique, invariant d'un groupe de transformations :     

Soit φ une application numérique qui à tout élément m de E associe le nombre φ(m) et T une application de E dans E. On dira que φ est un invariant de T si m et T(m) ont même image par φ. Lorsque l'on considère un groupe de transformations G, φ est un invariant de G si pour T de G, φ(m) = φ(T(m)).

Dans son programme d'Erlangen, Klein s'échappe de l'espace concret pour se placer dans une multiplicité à plusieurs dimensions (ce qu'on nomme aujourd'hui une variété algébrique) et exprime le problème de la classification des géométries sous la forme :

On donne une multiplicité et un groupe de transformations de cette multiplicité; développer la théorie des invariants relatifs à ce groupe.

Géométrie abstraite :      

On voit ici que l'on passe à une définition abstraite d'une géométrie : un couple (E,G) où la géométrie de E s'identifie à l'ensemble des propriétés de E invariantes par les transformations de G.

Inversion et point à l'infini, le plan conforme :

Klein précise :

Ce qu'il faut surtout remarquer, c'est l'arbitraire qui subsiste dans le choix du groupe de transformations adjoint à la multiplicité et la faculté qui en découle d'accepter égaiement toutes les méthodes de traitement dès qu'elles satisfont à la conception générale.

C'est là que s'ouvre l'accès aux géométries non euclidiennes susceptibles de s'appliquer au même espace physique : celui de notre environnement. Klein montra que les géométries non euclidiennes peuvent être interprétées comme des géométries projectives sur une surface conique, d'où la terminologie hyperbolique (pour la géométrie de Lobatchevski) et elliptique (géométrie de Riemann).

Le programme d’Erlangen met un point final à 2000 ans d’études et de controverses sur le bien-fondé du 5è postulat d’Euclide et de son indépendance vis à vis des quatre premiers. La mise en place axiomatique définitive de ces géométries sera effectuée par Hilbert (1899) dans ses Grundlagen der Geometrie (Fondements de la géométrie).

Notions sur les géométries non euclidiennes :                    Véronèse

Groupes de transformations et géométries équivalentes :

Un outil très important qu'utilisèrent Klein et Lie dans l'étude des géométries est celui des géométries équivalentes : considérons deux géométries abstraites (E,G) et (E',G') pour lesquelles on suppose exister une bijection φentre E et E'. Le schéma ci-dessous montre comment on peut, au lieu d'étudier (E,G), étudier (E',G') :

Pour toute transformation T de G agissant dans E, il existe une unique une unique transformation T' de E' telle que φ o T = T' o φ.

On voit ici le lien étroit entre la géométrie algébrique (que développeront Max Noether et Cremona) et la topologie algébrique consistant à étudier les propriétés invariantes par transformations continues.

Extrait du Programme d'Erlangen        traduit par Henri Padé (mathématicien français, 1853-1963) :

Applications affines (isométries, déplacements, antidéplacements, similitudes) :

Le cas de la géométrie projective est plus subtil. Son groupe principal contient celui des homographies que l'on complète par celui des transformations dualistiques (comme disait Klein, car liées à la dualité) et que l'on appellera corrélations : bijections entre les sous-espaces projectifs renversant l'inclusion. Par exemple, si une droite d est incluse dans un plan p, on a alors  d)p mais (p)(d).  On obtient ainsi le groupe projectif, groupe principal de la géométrie projective.

Notions de géométrie projective :

  Transformations homographiques , Transformations birationnelles

 Groupe de Klein :

A un isomorphisme près, il n'existe que deux groupes finis d'ordre 4, à savoir le groupe cyclique commutatif Z/4Z des classes résiduelles modulo 4 et le groupe produit, commutatif mais non cyclique Z/2Z x Z/2Z dit groupe de Klein :

Les éléments de Z/2Z x Z/2Z sont les couples (x,y) d'éléments de Z/2Z. On définit la loi de composition additive par (a,b) + (a',b') = (a + a',b + b'). Muni de cette addition Z/2Z x Z/2Z est un groupe commutatif.

Ce groupe est isomorphe, par exemple, aux isométries du plan laissant invariant un rectangle (bel exercice; à vos crayons...) ou encore au groupe multiplicatif (produit matriciel) dont les éléments sont :

Ce groupe, composé de 4 éléments involutifs ne peut être cyclique.

En savoir plus sur les groupes finis et l'anneau Z/nZ :               Z/4Z et le groupe des puissances de i :

Bouteille de Klein (1882) :

La fameuse "bouteille" est une surface fermée à une seule face n'admettant ni extérieur, ni intérieur, ni orientation. Elle est à l'espace ce que le ruban de Möbius est au plan : il nous faisait passer du plan à l'espace (n = 2 à n = 3) en collant un ruban de papier par ses extrémités en retournant l'une des deux. Si l'on ne retourne pas une des extrémités, on obtient un cylindre.

Partant d'un cylindre allongé, en recollant ses extrémités, on obtient un tore. Pourrions-nous maintenant tordre notre cylindre à une de ses extrémités et les recoller à la façon du ruban ? On passe alors dans la 4ème dimension (n = 3 à n = 4)... Une approche tridimensionnelle par ordinateur est donnée ci-dessous :


Source : R. Bruck, Univ. of Southern California

Surface de Boy :  

  Pour en savoir plus :


Frobenius  Gram
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