ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Produit scalaire - Norme - Distance  cas euclidien élémentaire   généralisation

Le concept de produit linéaire de deux vecteurs est né de la physique avec Grassmann et Gibbs et fut baptisé produit scalaire (scalar product) par Hamilton (1853). Le terme scalaire du latin scalaris = escalier, échelle) est utilisé au sens de numérique : dans un contexte vectoriel, il s'agit de distinguer les objets vecteurs et les objets nombres qui opèrent sur les vecteurs. On parle aussi de multiplication par un scalaire : il s'agit là de la loi externe d'un espace vectoriel : si E est un espace vectoriel sur un corps K, les éléments de K sont les scalaires.

Ne pas confondre avec le produit vectoriel :

 Pour simplifier les notations, une écriture grasse, comme f ou AB, signifiera un vecteur.

L'exemple fondamental du concept apparaît en dynamique avec le travail d'une force : si une force f déplace un corps selon un chemin rectiligne d, alors le travail fourni est donné par la formule :

| f | désignant l'intensité de la force, | d | la longueur du déplacement et ^x l'angle entre les directions de la force et du déplacement.

  Le terme de travail d'une force est dû à Gustave Gaspard Coriolis (1792-1843) dans un traité de mécanique (1829), réédité sous le titre Traité de la mécanique des corps solides (1844). Physicien français, polytechnicien, ingénieur des Ponts et Chaussées, élu à l'Académie des sciences en 1836, on lui doit aussi un résultat paru dans le journal de l'École polytechnique concernant l'étude de la force centrifuge pour un système de points en rotation où il fait intervenir une force virtuelle portant son nom (force de Coriolis, accélération de Coriolis), expliquant, entre autres usages plus sérieux, pourquoi l'eau d'une baignoire que l'on vide tourne, en toute théorie, en sens différents autour de la bonde dans les hémisphères nord et sud.

Aujourd'hui, le produit scalaire se rencontre dans tous les domaines de la physique :

• Energie et moment cinétique d'un solide;
• Hydrodynamique;
• Circulation et flux d'un champ électrostatique;
• Electromagnétisme, équation de Maxwell, force de Lorentz (physicien hollandais, 1853-1928).
• ...

Considérons deux vecteurs et d'un plan. Choisissons un représentant AB de , un représentant CD de et décidons d'une unité et d'un sens de parcours sur (AB) de A vers B. Le produit scalaire de et , noté est alors le nombre défini par :

où HK est le projeté orthogonal de CD sur (AB). Le produit scalaire ne dépend pas des représentants AB et CD choisis.

Remarquer que l'on ne dit pas produit scalaire de par , bien que ce ne soit pas interdit, car le produit scalaire est commutatif : on aurait tout aussi bien pu projeter AB sur (CD). C'est dire que :

=

En effet, il résulte de la définition que :

= AB x CD x cos^(,)

et bien que ^(,) = - ^(,), la fonction cosinus étant paire, on a cos^(,) = cos^(,).

Noter aussi que sur le schéma ci-dessus, l'angle géométrique ^(,) est aigu. Le cas obtus conduit (heureusement...) au même résultat.

En effet (schéma de droite), CD se projette en HK sous un angle aigu p - ^(,) et la mesure algébrique de HK est ici négative, la définition conduit alors à :

  On ne confondra pas avec le produit vectoriel qui est non commutatif, et qui est un vecteur.

  On vérifie facilement que :

• 1.  ( + ) = +   et  ( + ) = +    (vu la commutativité)
• 2.  l = (l) = l()
• 3. si et sont non nuls : = 0 si et seulement si les directions de et sont perpendiculaires : on dit que les vecteurs et sont orthogonaux.

 Muni de ce produit scalaire, le plan est dit euclidien.

Plutôt que uv, une notation souvent utilisée pour les produits scalaires sur des espaces abstraits est <u,v> et dans un espace vectoriel abstrait E, on ne surligne généralement plus par une flèche les éléments de E.

Notion de norme :        

Avec les notations précédentes, est noté ² (carré scalaire) et si = AB, alors, par définition du produit scalaire ² = AB² 0, carré de la distance AB.

Le cas ² = 0 n'a lieu que si est nul. Lorsqu'une unité commune est choisie pour toutes les droites du plan, la racine carrée de ² est la norme (on dit parfois le module par analogie avec les nombres complexes). La norme correspond ici à la distance de A à B. On note généralement || || la norme de . Un vecteur de norme 1 est dit unitaire ou normé.

Généralisation :                              Espace de Banach :

On munit le plan d'un repère orthonormé (O,i,j) , au sens élémentaire comme enseigné au collège, c'est à dire que les vecteurs de base sont orthogonaux (ils forment un angle droit) et sont normés (ils ont pour longueur 1).

   Posons = x.i + y.j et = x'.i + y'.j

•    ij = ji = 0 (puisque i et j sont orthogonaux) 
•    ii = jj = 1 (puisque i et j sont unitaires)

On a alors :

= (x.i + y.j)(x'.i + y'.j) = xx' + yy'
 

On retrouve ainsi que si = AB, alors ² = AB² = x² + y² : c'est le théorème de Pythagore et on devrait plutôt parler de distance pythagoricienne... : en effet, les coordonnées de sont x = x_B - x_A = 4 et y = y_B - y_A = 2 et dans le triangle rectangle ABH (ci-dessus), on a AB² = AH² + HB² = x² + y² = 20, d'où AB = || || = 25. D'une façon générale :

                   Euclide

  Une application du produit scalaire ou des rotations  

Les relations 1 et 2 ci-dessus expriment la bilinéarité du produit scalaire (linéarité par rapport aux deux composantes du produit). La relation 3 exprime une positivité non dégénérée (la nullité n'a lieu que si est nul). La définition, dans un espace abstrait, d'un produit scalaire permet de définir les notions de distance (norme), d'alignement (colinéarité) et, a contrario, d'angle et d'orthogonalité.

D'une façon générale, si E est un espace vectoriel, on appelle forme sur E, toute application de E (ou du produit cartésien Eⁿ) vers K (on parle aussi d'application scalaire).

1. Cas réel , espace euclidien :        

Soit E un espace vectoriel sur R. Par analogie avec le cas concret des vecteurs du plan, on appelle produit scalaire sur E, toute forme bilinéaire f :

• 1. symétrique : pour tout couple (u,v) de E x E : f(u,v) = f(v,u)
• 2. positive : pour tout élément u de E : f(u,u) 0
      uf(u,u) est appelée forme quadratique associée à f 
• 3. non dégénérée : pour tout élément u de E : f(u,u) = 0   u = 0_E (vecteur nul de E)

Formes bilinéaires, trilinéaires, multilinéaires :                  Formes quadratiques :

On exprime les propriétés 2 et 3 en disant que la forme f est définie positive. L'application qui à u associe f(u,u) est une forme quadratique.

Un espace vectoriel réel E muni d'un produit scalaire est qualifié d'euclidien. Pour bénéficier de cette qualification, certains mathématiciens exigent une dimension finie de l'espace vectoriel E.

• Deux vecteurs u et v sont dits orthogonaux pour le produit scalaire f si f(u,v) = 0.
• Une base d'un espace vectoriel est dite orthogonale si ses éléments sont deux à deux orthogonaux.

Applications linéaire, formes linéaires :  

2. Cas complexe :         

Soit E un espace vectoriel sur C. La définition qui suit prolonge la précédente. On appelle produit scalaire sur E, toute forme f : (u,v)  f(u,v) sur E telle que :

• 1. f est linéaire par rapport à u : f(u + u', v) = f(u,v) + f(u',v) et f(lu) = lf(u,v)

• 2. pour tout couple (u,v) de E x E : : symétrie hermitique (ou hermitienne); on dit aussi que f est auto-adjointe. l'application (u,v)f(v,u) est dite adjointe de f et généralement notée f*    matrice adjointe.

• 3. pour tout élément non nul u de E : f(u,u) > 0 et f(u,u) = 0   u = 0_E (vecteur nul de E) : positivité et non dégénérescence   
  uf(u,u) est ici appelée forme hermitienne associée à f.   Hermite.

Deux nombres conjugués ayant des arguments opposés, la propriété 2 s'interprète géométriquement pour signifier ^(,) = - ^(,) dans le cas des vecteurs du plan ou de l'espace orienté. On remarque que :

  En utilisant 1. et 2. ci-dessus, prouver que f est une forme bilinéaire par rapport à u et .

On dit parfois que f est sesquilinéaire (sesqui : du latin sesque, contraction de semisque signifiant un et demi par opposition à bilinéaire signifiant linéaire par rapport à u et à v). L'application qui à u associe f(u,u) est réelle, c'est une forme hermitienne (ou hermitique).

Un espace vectoriel complexe muni d'un produit scalaire est dit hermitien (ou hermitique), qualificatifs forgés sur le nom du mathématicien français Charles Hermite.

L'espace vectoriel E étant muni d'un produit scalaire noté <,>, on appelle norme associée à ce produit scalaire ou encore norme euclidienne, l'application qui à tout élément u de E associe le nombre (positif) :

 Avec la notation f(u,u) pour désigner <u,u> dans le cas complexe, on a || u ||² = f(u,u). On voit que :

Pour un vecteur, abstrait ou non, la norme est en quelque sorte sa mesure et || lu || = |l|.|| u || (l réel ou complexe). Normer un vecteur non nul, c'est le multiplier par l'inverse de sa norme. On obtient alors un vecteur unitaire (de norme 1). Une base d'un espace vectoriel est dite orthonormale ou orthonormée si elle est orthogonale et si ses éléments sont unitaires (de norme 1).

• Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O,i,j) le vecteur ci-dessous est unitaire

• Si (i,j) est une base orthonormée, il en est de même de ( , ) 

• Dans l'exercice 1 ci-dessus, la norme d'une fonction f de est :

Trois résultats fondamentaux :         

 Si u(x, y, z,...) et u'(x', y', z',...) sont ainsi exprimés dans une base orthonormée pour un produit scalaire <,>, alors :

et ce produit scalaire est indépendant de la base orthonormée utilisée.

 Si (e₁, e₂, ..., e_i, ..., e_n) est une base orthonormée d'un espace vectoriel de dimension n, alors la i-ème coordonnée (composante) d'un vecteur u exprimé dans cette base est <u,e_i>.

 Pour tout couple (u,v), on a :

<u,v> = ½ (|| u + v ||² - || u ||² - || v ||²)

Preuve : très simple vu que || u + v ||² = <u + v, u + v> et en développant par bilinéarité.

  Dans un espace vectoriel, on peut définir une norme sans pour autant devoir y définir un produit scalaire, on parle alors d'espace vectoriel normé :

Espace de Banach :

Dans un espace vectoriel réel E, une norme est une application de E dans R⁺ qui à tout vecteur u associe le nombre souvent noté || u || vérifiant :

• 1. pour tout u de E : || u || 0 et || u || = 0 si et seulement si u = 0_E (vecteur nul de E)
• 2. pour tout a de K : || a.u || = |a|.|| u ||  ,  |a| désigne la valeur absolue.
• 3. pour tous u et v de E : || u + v || || u || + || v ||   (inégalité triangulaire)

.

Espace de Hilbert :

 Si u et v sont orthogonaux, alors || u + v ||² = || u ||² + || v ||² : à rapprocher du théorème de Pythagore.

|<u,v>| || u || x || v ||

L'égalité a lieu si (et seulement si) u et v sont colinéaires (i.e. u = k.v). Pour prouver ce résultat, il suffit de développer le carré scalaire <a.u + v , a.u + v> où a est un scalaire arbitraire et écrire que le discriminant du trinôme du second degré en a est négatif ou nul puisque <a.u + v , a.u + v> est positif. Par exemple :

     exercice 1

 Schwarz , Hölder, Minkowski

On peut définir une distance à partir de la norme en posant :

d(u,v) = || u - v ||                 cas euclidien

On voit l'analogie avec la distance euclidienne usuelle du plan ou de l'espace en posant d(A,B) = || OB - OA || = || AB ||. La notion de distance, ici définie par une norme, conduit à celle, plus générale, de métrique sur un ensemble :

Espaces métriques :

______ ______

• 1.1 On considère l'espace vectoriel des fonctions numériques continues sur un intervalle [a,b] (a < b). Montrer que la forme définie dans par :

<f,g> = f(x)g(x)dx

                est un produit scalaire dans .

• 1.2 On considère l'espace vectoriel des fonctions d'une variable réelle, continues sur un intervalle [a,b],  à valeurs dans C. Montrer que la forme définie dans par :

<f,g> = f(x)dx

est un produit scalaire dans .

Ces produits scalaires ou leurs variantes pondérées se retrouvent dans de nombreux cas d'espaces fonctionnels :

 Polynômes orthogonaux , Séries de Fourier et espaces L²

• 2. E désignant un espace vectoriel de dimension 2 sur R rapporté à une base B, on considère la forme f définie par :

si u(x,y) et v(x',y')  alors  f(u,v) = (x + y)(x' + y')

• 2.1 Montrer que f est bilinéaire et positive
• 2.2 En considérant v(x,y) non nul tel que y = -x, montrer que f n'est pas un produit scalaire.

• 3. Montrer qu'une forme bilinéaire symétrique, sur un espace vectoriel E, ne gardant pas un signe constant est dégénérée.

Solution : Par hypothèse, il existe un couple (u,v) de vecteurs de E, non nuls et tels que f(u,u) < 0 et f(v,v) > 0. Posons pour tout réel r :

P(r) = f(u + r.v , u + r.v)

P(r) est un trinôme du second degré en r admettant deux zéros non nuls car son discriminant est strictement positif et f(u,u) non nul. Il existe donc un réel r_o tel que P(r_o) = 0 et u + r_o.v non nul : sinon u = -r_o.v et f(u,u) = r_o².f(v,v) > 0, ce qui est contradictoire à l'hypothèse.

• 4. Montrer que dans R (resp. C), la valeur absolue (resp. le module) est une norme.

• 5. E est un espace vectoriel de dimension 2 sur R et rapporté à une base (i,j). Pour tout vecteur V(x;y), on pose :

Montrer que l'on définit ainsi une norme sur E.

• 6. E est un espace vectoriel réel normé, montrer que :

| ||v - w|| | ||v ± w|| ||v|| + ||w||

• 7. On considère l'espace vectoriel T des polynômes de degré au plus égal à 2 à coefficients réels muni du produit scalaire (cf. exercice 1) :

<f,g> = f(x)g(x)dx

Pour tout f de T, on définit sa norme || f || par : || f ||² = <f,f>

(1, x, x²) est une base de T : tout élément de T est de la forme f = a.x² + b.x + c.

7.1 Calculer || 1 || , || x || et || x² ||.
7.2 Calculer <1,x> , <x,x²>, <1,x²>. La base (1, x, x²) est-elle orthogonale ?
7.3 Quels sont les trinômes orthogonaux à x² (c.à d. à f : x x²) ?    Rép : f = ax² + b.x + c avec 3a + 5c = 0

 Pour en savoir plus :

• Tout cours universitaire niveau DEUG 1ère et 2ème année
• Mathématiques - deuxième année de DEUG - Paul Krée, Jacques Vauthier - Cours de l'université Pierre-et-Marie-Curie - Tome 2 - Ed. ESKA
• Dans la même collection : très beaux exercices niveau classes prépa - tome 1 : analyse ,
  par Mirella et Paul Krée, Jacques Vauthier