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GELFOND Alexander Ossipovitch, russe, 1906-1968

 !  Ne pas le confondre avec son compatriote Izraël Moïsséévitch Gelfand (ou Guelfand).

Natif de Saint-Pétersbourg, Alexander Gelfond fit ses études universitaires à Moscou de 1924 à 1930, année où il soutint sa thèse de doctorat portant sur la théorie analytique des nombres, dirigée par Alexandre I. Khintchine (1894-1959). Titulaire d'une chaire d'analyse en 1931, Gelfond fera toute sa carrière à l'université de Moscou. Outre ses recherches sur les nombres transcendants (nombres qui ne sont solutions d'aucune équation polynomiale à coefficients rationnels), ses travaux portèrent sur les équations diophantiennes et l'approximation des fonctions d'une variable complexe. Il fut membre de l'Académie des sciences de l'URSS.

Alexander Iakovlevitch Khintchin (1894-1959) : mathématicien russe, professeur à l'université de Moscou dont la thèse fut dirigée par Nikolaï Luzin. Il fut un spécialiste en théorie des probabilités avant de se tourner vers la théorie des nombres, dont l'approximation diophantienne. Plus de biographie : » réf.2.
» Constante de Khintchine, Théorème central limite de Khintchine | James Maynard | Andreï Kolmogorov.

Le résultat qui le fit connaître sur le plan international fut, à 28 ans, sa résolution du 7ème problème de Hilbert (Sur le septième problème de Hilbert, 1934) en démontrant la transcendance des nombres de la forme a^b pour a et b algébriques, b irrationnel. Noter que la même année, l'allemand Theodor Schneider résolvait indépendamment le même problème dans sa thèse dirigée par Siegel.

Gelfond avait énoncé la conjecture générale ci-dessous qu'il ne prouva que pour n = 2 ayant comme corollaire la réponse au 7è problème.

Si (a_i > 0) et (b_i) désignent deux familles de n nombres algébriques non nuls tels que les Log a_i soient linéairement
indépendants sur Q, alors b₁Log a₁ + ... b_nLog a_n est non nul.

La preuve du cas général fut apportée par Baker en 1966. La transcendance de a^b en découle (raisonner par l'absurde en passant aux Log).  Plus précisément :

Théorème de Gelfond-Schneider :   

Si a, non nul, distinct de 1 et b irrationnel sont algébriques, alors a^b est transcendant

• Ainsi, par exemple, le nombre 2^√2 parfois appelé constante de Gelfond-Schneider, est transcendant   

» Schneider , Baker , Mendès-France

• Qu'en est-il donc de e^π ?  Sachant, selon Euler, que e^iπ = -1, on peut alors écrire : (e^π)ⁱ = -1 = i² , et par suite :

Or i est algébrique puisque solution dans C de l'équation x² + 1 = 0. En conséquence e^π est transcendant. Mais on ne sait toujours pas, par exemple, si π^e ou π^π est transcendant, mais cela est hautement probable...

»  Liouville , Lindemann , Hermite

• On ne sait pas si la constante d'Euler, à savoir :

est transcendante ou non (ln désigne le logarithme népérien). Son irrationalité n'a d'ailleurs pas encore été prouvée ! 

• On ne connaît pas non plus la nature (transcendante ou non) d'autres formes comme π^e, eπ ou e + π, mais :

Sachant que e et π sont transcendants (Hermite, Lindemann), l'un au moins des deux nombres eπ et e + π est transcendant

Preuve : en raisonnant par l'absurde (» Aristote), si aucun n'est transcendant, ils sont tous deux algébriques et les nombres e et π, seraient solutions de l'équation du second degré x² - (e + π)x + eπ = 0. Les nombres e et π seraient donc algébriques ! Rappelons ici que deux nombres, de somme S et de produit P vérifiant S² > 4P, sont solutions de l'équation X² - SX + P = 0.

 ➔   Pour en savoir plus :

1. La méthode de Gelfond en théorie des nombres transcendants (dont 7è problème de Hilbert), par Michel Waldschmidt :
   http://www.numdam.org/article/STNB_1970-1971____A1_0.pdf/

2. Biographie de Alexandre I. Khintchin : sur Wikipédia , sur MacTutor

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Dieudonné  Gödel

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