ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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GELFOND Alexander Ossipovitch, russe, 1906-1968

 Ne pas le confondre avec son compatriote Izraël Moïsséévitch Gelfand (ou Guelfand).

Natif de Saint-Pétersbourg, Alexander Gelfond fit ses études universitaires à Moscou de 1924 à 1930, année où il soutint sa thèse de doctorat portant sur la théorie analytique des nombres. Titulaire d'une chaire d'analyse en 1931, il fera toute sa carrière à l'université de Moscou. Outre ses recherches sur les nombres transcendants (nombres qui ne sont solutions d'aucune équation polynomiale à coefficients rationnels), ses travaux portèrent sur les équations diophantiennes et l'approximation des fonctions d'une variable complexe. Il fut membre de l'Académie des sciences de l'URSS.

Le résultat qui le fit connaître sur le plan international fut, à 28 ans, sa résolution du 7ème problème de Hilbert (Sur le septième problème de Hilbert, 1934) en démontrant la transcendance des nombres de la forme ab pour a et b algébriques, b irrationnel. Noter que la même année, l'allemand Theodor Schneider résolvait indépendamment le même problème dans sa thèse dirigée par Siegel.

Conjecture de Gelfond (1929) :

Gelfond avait énoncé la conjecture générale ci-dessous qu'il ne prouva que pour n = 2 ayant comme corollaire la réponse au 7è problème.

Si (ai > 0) et (bi) désignent deux familles de n nombres algébriques non nuls tels que les Log ai soient linéairement
indépendants sur Q, alors b1Log
a1 + ... bnLog an est non nul.

La preuve du cas général fut apportée par Baker en 1966. La transcendance de ab en découle (raisonner par l'absurde en passant aux Log).  Plus précisément :

Théorème de Gelfond-Schneider :   

Si a, non nul, distinct de 1 et b irrationnel sont algébriques, alors ab est transcendant

Schneider , Baker

eπ = (i2)1/i = (i2)-i = i-2i

Or i est algébrique puisque solution dans C de l'équation x2 + 1 = 0. En conséquence eπ est transcendant. Mais on ne sait toujours pas, par exemple, si πe ou ππ est transcendant, mais cela est hautement probable...

 Liouville , Lindemann , Hermite

Problèmes ouverts :

est transcendante ou non (ln désigne le logarithme népérien). Son irrationalité n'a d'ailleurs pas encore été prouvée ! 

Sachant que e et π sont transcendants (Hermite, Lindemann), l'un au moins des deux nombres eπ et e + π est transcendant

Preuve : en raisonnant par l'absurde ( Aristote), si aucun n'est transcendant, ils sont tous deux algébriques et les nombres e et π, seraient solutions de l'équation du second degré x2 - (e + π)x + eπ = 0. Les nombres e et π seraient donc algébriques ! Rappelons ici que deux nombres, de somme S et de produit P vérifiant S2 > 4P, sont solutions de l'équation X2 - SX + P = 0.

 Baker , Siegel , Schneider
 

  Pour en savoir plus :

  1. La méthode de Gelfond en théorie des nombres transcendants (dont 7è problème de Hilbert), par Michel Waldschmidt :
    http://www.numdam.org/article/STNB_1970-1971____A1_0.pdf/


Dieudonné  Gödel
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