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Polynômes de Hermite             »  Polynômes d'approximation : généralités

Il s'agit, à l'instar des polynômes de Tchebychev ou de Legendre, d'un système de polynômes H_n de degré n, orthogonaux pour le produit scalaire :

On retrouve ces polynômes dans la résolution de l'équation de la chaleur qu'étudièrent, en particulier, Poisson et Fourier au tout début du 19è siècle :

et pour l'approximation uniforme de fonctions numériques. La densité est ici Φ(x) = e^{-x^2} = exp(-x²) : exponentielle de -x². Contrairement, aux polynômes de Tchebychev ou de Legendre , on ne se borne pas ici à un intervalle borné...

En imposant la condition : le coefficient de xⁿ est 2ⁿ, outre la relation de récurrence :

• H_n+1(x) - 2x.H_n(x) + 2nH_n-1(x) = 0

Ces polynômes vérifient aussi cette simple relation :

• H'_n(x) = 2n.H_n-1(x)

et l'équation différentielle du second ordre :

• H_n" - 2x.H_n' + 2nH_n = 0

Pour le produit scalaire considéré, la norme || H_n || de ces polynômes est définie par : || H_n ||² = <H_n,H_n> et l'on peut démontrer que :

Le calcul de || H_o ||² = √π est fourni par l'intégrale dite de Gauss :

 

Les premiers polynômes de Hermite :

• H_o(x) = 1
• H₁(x) = 2x
• H₂(x) = 4x² - 2
• H₃(x) = 8x³ - 12x
• H₄(x) = 16x⁴ - 48x² + 12
• H₅(x) = 32x⁵ - 160x³ + 120x
• ...

Et d'une façon générale :

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 ➔   Pour en savoir plus :

• Université de Jussieu (préparation à l'agrégation), Polynômes et fonction d'Hermite, page de Bernard Maurey :
  http://www.math.jussieu.fr/~maurey/agreg/Textes/ag001_a2.pdf
• Méthodes numériques, Analyse, Algèbre, équations différentielles par N. Bakhvalov, Ed. Mir - Moscou - 1976.
• Cours de mathématiques, Tomes 1 et 2, par J. Bass, Ed. Masson - Paris -1964
• TRAITEMENT D'ALGORITHMES PAR ORDINATEUR, Tome 2, par Louis Léon
  ENSTA - Ecole Nationale Supérieures de Techniques avancées. Cepadues-Éd. Toulouse, 1983