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Polynômes de Hermite                Polynômes d'approximation : généralités

Il s'agit, à l'instar des polynômes de Tchebychev ou de Legendre, d'un système de polynômes Hn de degré n, orthogonaux pour le produit scalaire :

On retrouve ces polynômes dans la résolution de l'équation de la chaleur qu'étudièrent, en particulier, Poisson et Fourier au tout début du 19è siècle :

et pour l'approximation uniforme de fonctions numériques. La densité est ici (x) = e-x^2 = exp(-x2) : exponentielle de -x2. Contrairement, aux polynômes de Tchebychev ou de Legendre , on ne se borne pas ici à un intervalle borné...

En imposant la condition : le coefficient de xn est 2n, outre la relation de récurrence :

Ces polynômes vérifient aussi cette simple relation :

et l'équation différentielle du second ordre :

Pour le produit scalaire considéré, la norme || Hn || de ces polynômes est définie par : || Hn ||2 = <Hn,Hn> et l'on peut démontrer que :

|| Hn ||2 = 2n n!π

Le calcul de || Ho ||2 = π est fourni par l'intégrale dite de Gauss :

 

Les premiers polynômes de Hermite :

Et d'une façon générale :

 

 Pour en savoir plus :


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