ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Structure d'espace vectoriel      
   
Module |Base | Dimension | Sous-espace vectoriel | Applications linéaires et matrices | Structure d'algèbre

Soit (K,+,×) un corps commutatif d'élément unité noté 1. On nomme espace vectoriel sur K, (on dira aussi un K-espace vectoriel) un groupe abélien (E,+) muni d'une seconde loi dite externe, application de E x K dans E notée ici par un simple point (.) et vérifiant les axiomes suivants :

Si x et y désignent des éléments (on pourra dire vecteurs) de E, a et b désignant des scalaires :

i/ a . (x + y) = a . x + a . y         ii/ (a + b) . x = a . x + b . x           produit scalaire , Peano
iii/ a . (b . x) = ab . x                4i/ 1 . x = x

On notera (E,+, .) un tel espace vectoriel.

Par opposition aux vecteurs de l'espace E, les éléments de K, jouant le rôle de nombres (généralement  K = R ou C), sont appelés scalaires (du latin scala = escalier, échelle, degré, au sens ici d'échelle de valeurs). La loi externe est souvent appelée multiplication scalaire car elle fait fait intervenir les éléments de K. On parle aussi d'action.

Structure de module :    

Lorsque K est un anneau commutatif et unitaire, sans être un corps, on parle de module (le terme est dû à Dedekind) au lieu d'espace vectoriel.

Le terme module désigne également le paramètre p d'une congruence modulo p; on retrouve également ce terme pour désigner la distance | z | à l'origine de l'image M(x,y) d'un nombre complexe z = x + iy, se résumant à la valeur absolue dans le cas réel y = 0.

La notion de vecteurs dans l'histoire des mathématiques :

Concernant l'axiome iii/ ci-dessus, on parle de condition d'associativité mixte. On dit que K est un domaine d'opérateurs. Les conditions iii/ et 4i/ expriment que le groupe multiplicatif K* des scalaires opère sur E. La condition i/ supplémentaire fait de K un domaine d'opérateurs distributif. Plus généralement, la notion de groupe opérant sur un ensemble est très importante en algèbre moderne. Ce sujet est évoqué au chapitre des groupes.

Dual d'un espace vectoriel, espace vectoriel topologique :

Base d'un espace vectoriel, dimension, module libre  :

Une combinaison linéaire d'éléments x, y, z, ... dans un espace vectoriel E sur un corps K, est une écriture de la forme :

a . x + b . y + c . z + ...      a, b, c, ... éléments de K.

Si P est une partie de E telle que tout élément de E soit combinaison linéaire d'éléments de P, on dit que P est une famille génératrice (ou un système générateur) de E ou encore que E est engendré par P. Si P est une famille génératrice de E, toute partie G contenant P est aussi génératrice.

Une partie P de E dans laquelle toute combinaison linéaire nulle d'éléments a tous ses coefficients nuls est dite libre :

si  a . x + b . y + c . z + ... = 0E  alors  a = b = c = ... = 0k

On parle de famille liée pour exprimer qu'elle n'est pas libre. C'est dire qu'au moins un élément de la famille peut s'écrire comme combinaison linéaire des autres (certains coefficients pouvant être nuls mais non pas tous).

On appelle base de E toute partie de E à la fois génératrice et libre. Un module est dit libre s'il possède une base.

L'intérêt de la notion de base, comparé à celle de partie génératrice, est l'unicité de l'écriture de tout élément de E au moyen de cette base (très facile à prouver en supposant l'existence de deux écritures).

Une base d'un espace vectoriel E est une partie génératrice minimale (au sens de l'inclusion). C'est aussi une partie libre maximale.

Dimension :     

Si une base possède un nombre fini d'éléments, alors toutes les bases ont le même nombre d'éléments, c'est la dimension de E et on parle d'espace vectoriel de dimension finie.

Si B = (e1, e2, ..., ei, ..., en) est une base, tout élément u de E s'écrit de façon unique comme combinaison linéaire des éléments de B. Les coefficients de cette combinaison sont les coordonnées de u (on dit aussi composantes) dans la base B.

Théorème de la base incomplète :    

E étant de dimension finie, toute partie libre non génératrice peut être complété afin d'obtenir une base. A contrario, de toute famille génératrice liée on peut extraire une base.

Base canonique d'un espace vectoriel E sur R de dimension finie n :     

Prenons, à titre d'introduction, le cas de R2, espace vectoriel de dimension 2 sur R. Tout couple de R2 s'écrit :

(x,y) = x(1,0) + y(0,1)

et c'est la façon la plus élémentaire et la plus commode d'exprimer un couple de R2. Posons i = (1,0) et j = (0,1). ( i,j) est une base de R2 : on parle de base canonique de R2 (au sens latin du terme canonicus = conforme aux règles, prenant ici le sens de la plus naturelle).

Plus généralement, dans toute base d'un espace vectoriel réel E de dimension n, les coordonnées (x1, x2, ...,xn)  d'un vecteur constituent un n-uplet de nombres réels. En posant e1 = (1, 0, 0, ...0),  e2 = (0, 1, 0, ...0), ... , en = (0, 0, 0, ...1), on définit la base canonique de l'espace E qui s'identifie ainsi à Rn.

        On peut encore parler ici de la base canonique de  2(R).

Droite vectorielle, plan vectoriel :

Un espace vectoriel de dimension 1 (resp. 2) est une droite vectorielle (resp. plan vectoriel). Notre espace usuel (3 dimensions) peut être considéré  comme un ensemble de points (espace affine); un couple de points (A,B) définit un vecteur AB. On peut alors parler de vecteur u pour exprimer la classe d'équipollence de (A,B).

Un plan affine de l'espace est défini par un de ses points et un couple de vecteurs libres définissant sa direction (plan vectoriel). Une droite d'un plan ou de l'espace (droite affine) esar un de ses points et un vecteur (sa direction ou encore son vecteur directeur).

Exemple de plan vectoriel : Dans un espace vectoriel de dimension 3 de base (i,j,k), l'ensemble (p) des vecteurs V tels que V(x, y, z) tels que x + y - z = 0 est un plan vectoriel de base (u,v) =(i + k, j + k) ; en effet, pour tout vecteur V de (p), V(x, y, z) = V(x,y,x + y); donc V (p) V = x.u + y.v avec u = i + k et v = j + k et ces vecteurs sont linéairement indépendants car x.u + y.v = 0 x = y = 0.

Deux vecteurs du plan V(a,b) et W(c,d) sont linéairement indépendants et forment donc une base si et seulement si leur déterminant ad - bc est différent de 0.

Dans l'espace, deux vecteurs V(a,b,c) et W(a',b',c') sont linéairement indépendants et forment alors une base d'un plan vectoriel (sous-espace vectoriel de dimension 2) si et seulement l'un des 3 déterminants d'ordre 2 formés sur le ableau de coordonnées est non nul :

C'est dire que V et W sont liés si les trois déterminants ci-dessus sont nuls :

 Vecteurs du  plan :                    Produit scalaire :                     Gibbs et le produit vectoriel :

  Gibbs , Grassmann , Peano

Sous-espace vectoriel :

Soit F est une partie d'un K-espace vectoriel (E,+, .). Si, muni des lois d'espace vectoriel de E (lois induites), une partie F est lui-même un espace vectoriel, on dit que F est un sous-espace vectoriel (s.e.v.) de E.

Il n'est en effet pas pas certain que le résultat des opérations E appliquées à des éléments de F, soit un élément de F :

Théorème :   

Une partie non vide F d'un K-espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si pour tout couple (x,y) de FF et tout couple (a,b) de KK, a.x + by est élément de F : toute combinaison linéaire d'éléments de F est un élément de F.

On peut, si l'on préfère, vérifier séparément, ce qui est équivalent, que

a/ F est non vide;
b/ Pour tous x et y de F, leur somme x + y est un vecteur de F;
c/ Pour tout réel a, a.x est un vecteur de F.

Toute intersection (finie ou non) de sous-espaces vectoriels est un un sous-espace vectoriel.

Il  n'en est pas de même de la réunion :

Un résultat bien évident... :   

Si E est de dimension finie, alors dim F dim E

Un sous-espace vectoriel de dimension 1 (resp. 2) est une droite vectorielle (resp. plan vectoriel). Plus généralement, en dimension n, on appelle hyperplan vectoriel un sous-espace vectoriel de dimension n - 1.


1. Prouver que l'ensemble E des fonctions affines de R sur R, fonctions de la forme fa,b : x ax + b, est un espace vectoriel de dimension 2 dont la paire
{u : x x , v : x 1} est une base.

2.Vérifier que l'ensemble des matrices diagonales de la forme constitue un sous-espace vectoriel de dimension 2 dans l'espace vectoriel 2(R).

Applications linéaires & matrices :

Somme de sous-espaces vectoriels, somme directe :

On appelle somme de deux sous-espaces F et G de E, l'ensemble S des éléments x + y, où x est élément de E et y élément de F. Il est facile de vérifier que muni des opérations d'espace vectoriel de E, S en est un sous-espace vectoriel.

On dit que la somme S est directe lorsque S = E et que F et G n'ont que le vecteur nul de E en commun, c. à d. FG ={0E}; on écrit alors : E = FG

On dit aussi que F et G sont supplémentaires dans E. Tout vecteur de E s'écrit alors de façon unique comme somme d'un élément de f et d'un élément de G.

En effet, si deux écritures x + y et x' + y' étaient possibles, on pourrait écrire : x - x' = y' - y; mais le membre de gauche est dans F et celui de droite dans G et comme FG ={0E}, il suit que x - x' = y' - y = 0E. c'est dire que x = x' et y = y'.

 Il n'est pas dit que FG est l'ensemble vide. Ce n'est pas possible dans le cas de deux sous-espaces vectoriels de E : ils ont, au moins, 0E en commun. Remarquer également qu'un sous-espace vectoriel ne possède généralement pas un unique supplémentaire. Dans l'espace vectoriel des vecteurs du plan, un supplémentaire de toute droite vectorielle engendré par u (sous-espace de dimension 1) est une droite vectorielle quelconque engendrée par un vecteur non colinéaire à u.


L'intersection de deux sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel. C'est bien évident...
Justifier, par contre, que la réunion de deux sous-espaces vectoriels n'en est pas un, à moins que l'un soit inclus
dans l'autre ! (étudier la somme de deux éléments pris dans chaque s.e.v.)

Théorème :      

Si E est dimension finie n et somme directe de F et G, alors n = dim F + dim G.

  Grassmann                Applications linéaires : noyau & image :.

Espace vectoriel quotient :

Lorsque F est un sous espace vectoriel de (E, +, .), la relation définie dans E par x ~ y x - y F est une relation d'équivalence (vérifiez-le !). L'ensemble quotient, noté E/F, ensemble des classes d'équivalence muni des opérations induites, est un espace vectoriel :

Structure quotient :


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