ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

BAKER Alan, anglais, 1939-       Médaille Fields 1970

Etudiant à l'université de Cambridge (Angleterre), il soutint une thèse en théorie des nombres, Some aspects of diophantine approximation, sous la direction de Davenport (1964). Professeur à Cambridge, prolongeant des résultats de Siegel, ses travaux portent sur les nombres transcendants au moyen de la théorie des fonctions de variable complexe. Baker fit toute sa carrière à Cambridge (retraité en 2006).

Baker reçut la médaille Fields en 1970 en même temps que Thompson pour ses travaux sur les équations et approximations diophantiennes permettant d'établir la transcendance de nombres irrationnels : rappelons qu'un nombre est dit transcendant s'il n'est solution d'aucune équation algébrique, c'est à dire racine d'un polynôme à coefficients entiers.

En 1975, le traité de Baker, Transcendantal number theory fit la synthèse des résultats sur ce sujet fondamental dans l'histoire mathématique de la théorie des nombres. Il reçut en particulier le prix Adams 1972 de l'université de Cambridge. Docteur honoris causa de l'université de Strasbourg (1998), ce grand mathématicien contemporain est membre de l'Académie des sciences de l'Inde, de Hongrie et des États-Unis (AMS).

 Liouville et la notion de nombres transcendants :

Transcendance des logarithmes  :                      la notion de logarithme , la fonction logarithme

Baker prouva (1966) la conjecture de Gelfond dont il découle immédiatement que :

Si x est rationnel, strictement positif, distinct de 1, alors
ln x est un nombre transcendant

Preuve de la transcendance de la fonction ln x :Fonctions de variable complexe :

  Hermite , Lindemann

ln x n'est pas une fraction rationnelle :     

ln x n'est pas une fraction rationnelle, c'est à dire non quotient a(x)/b(x) de deux polynômes à coefficients entiers (ou rationnels : on se ramène alors au cas entier en multipliant par le produit des dénominateurs mis en jeu).

En effet, supposons tout au contraire (raisonnement par l'absurde) que ln x s'écrive a(x)/b(x). Par division polynomiale de a(x) par b(x), on peut écrire :

a(x) = b(x)q(x) + r(x) avec d°r < d°b

ln x s'écrirait alors sous la forme :

ln x = q(x) + r(x)/b(x)

Pour x infini positif, r(x)/b(x) a pour limite 0, par suite le quotient ln(x)/x ayant également 0 pour limite entraîne la nullité de la limite de q(x)/x. C'est dire que d°Q < 1, donc q(x) = cte. En passant encore à la limite en l'infini de ln x = q(x) + r(x)/b(x), on aurait + = cte, ce qui est ennuyeux...

exp(x) n'est pas une fraction rationnelle :     

Le cas de la fonction exponentielle x ex peut se traiter semblablement sachant que pour infini positif ex/xn tend vers l'infini pour tout entier naturel n. Comme précédemment, on est conduit à

ex = q(x) + r(x)/b(x)

Soit  n le degré de q; divisons par xn+1. Le membre de gauche tend vers l'infini. Les quotients q(x)/xn et r(x)/b(x) tendent vers 0 : bien qu'on s'en doutât, il apparaît que la fonction exponentielle n'est pas une fraction rationnelle !


  Pour en savoir plus :


Novikov Sergueï  Bourbaki
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