ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

BAKER Alan, anglais, 1939-2018       Médaille Fields 1970

On ne confondra pas Alan Baker avec Henry Frederick Baker (1866-1956) qui étudia et enseigna également à Cambridge.

Après un premier cycle d'études supérieures à l'University College de Londres où il fait montre de grandes capacités en mathématiques, Alan Baker entre au Trinity College de l'université de Cambridge (Angleterre) et soutient une thèse en théorie des nombres, Some aspects of diophantine approximation, sous la direction de Davenport (1964). Professeur à Cambridge, prolongeant des résultats de Siegel, ses travaux portent sur les nombres transcendants au moyen de la théorie des fonctions de variable complexe. Baker fit toute sa carrière à Cambridge (retraité en 2006).

Baker reçut la médaille Fields en 1970 en même temps que John G. hompson pour ses travaux sur les équations et approximations diophantiennes permettant d'établir la transcendance de nombres irrationnels : rappelons qu'un nombre est dit transcendant s'il n'est solution d'aucune équation algébrique, c'est à dire non racine d'un polynôme à coefficients entiers ou rationnels.

Liouville et la notion de nombres transcendants :

Deux ans auparavant (1968), il avait apporté une réponse positive au 10è problème de Hilbert restreint à deux variables, le cas général pouvant s'énoncer :

Existe-t-il un algorithme universel permettant de conclure à l'existence de solutions d'une équation diophantienne ?

Deux ans plus tard, Matiyasevich prouvait l'indécidabilité du problème du cas général ( réf.3).

Gödel et le concept de proposition indécidable :

En 1975, le traité de Baker, Transcendantal number theory fit la synthèse des résultats sur ce sujet fondamental dans l'histoire mathématique de la théorie des nombres. Il reçut en particulier le prix Adams 1972 de l'université de Cambridge.

Docteur honoris causa de l'université de Strasbourg (1998), ce grand mathématicien contemporain fut membre de l'Académie des sciences de l'Inde, de Hongrie et des États-Unis (AMS). Son traité d'arithmétique, A concise introduction to the theory of numbers (1984) est en ligne ( réf.2).

Transcendance des logarithmes  :                      la notion de logarithme , la fonction logarithme

Dans un article  intitulé  Linear forms in the logarithms of algebraic numbers (1966), Baker prouva la conjecture de Gelfond dans son ca général dont il découle immédiatement que :

Si x est rationnel, strictement positif, distinct de 1, alors ln x est un nombre transcendant

L'article de Baker, publié en trois parties, est protégé par les droits d'auteur. On pourra en lire une analyse en réf.4a, à moins que vous ne soyez russophone : texte intégral en réf.4b

Preuve de la transcendance de la fonction ln x :Fonctions de variable complexe :

  Hermite , Lindemann , Hilbert

ln x n'est pas une fraction rationnelle :     

ln x n'est pas une fraction rationnelle, c'est à dire non quotient a(x)/b(x) de deux polynômes à coefficients entiers (ou rationnels : on se ramène alors au cas entier en multipliant par le produit des dénominateurs mis en jeu).

En effet, supposons tout au contraire (raisonnement par l'absurde) que ln x s'écrive a(x)/b(x). Par division polynomiale de a(x) par b(x), on peut écrire :

a(x) = b(x)q(x) + r(x) avec d°r < d°b

ln x s'écrirait alors sous la forme :

ln x = q(x) + r(x)/b(x)

Pour x infini positif, r(x)/b(x) a pour limite 0, par suite le quotient ln(x)/x ayant également 0 pour limite entraîne la nullité de la limite de q(x)/x. C'est dire que d°Q < 1, donc q(x) = cte. En passant encore à la limite en l'infini de ln x = q(x) + r(x)/b(x), on aurait + = cte, ce qui est ennuyeux...

exp(x) n'est pas une fraction rationnelle :     

Le cas de la fonction exponentielle x ex peut se traiter semblablement sachant que pour infini positif ex/xn tend vers l'infini pour tout entier naturel n. Comme précédemment, on est conduit à

ex = q(x) + r(x)/b(x)

Soit  n le degré de q; divisons par xn+1. Le membre de gauche tend vers l'infini. Les quotients q(x)/xn et r(x)/b(x) tendent vers 0 : bien qu'on s'en doutât, il apparaît que la fonction exponentielle n'est pas une fraction rationnelle !


  Pour en savoir plus :

  1. Fiche biographique : http://www.ae-info.org/ae/User/Baker_Alan
  2. A concise introduction to the theory of numbers, par Alan Baker (1984) :
    http://plouffe.fr/simon/math/A Concise Introduction to the Theory of Numbers .pdf
  3. Le 10è problème de Hilbert, par Youri Matiyasevich sur le site du Kangourou des mathématiques
  4. a) A propos de Linear forms in the logarithms of algebraic numbers I, II, III sur le site de l'AMS :
    http://www.ams.org/journals/bull/2006-43-03/S0273-0979-06-01121-9/S0273-0979-06-01121-9.pdf
    b) http://www.mathnet.ru/links/d23095692d4e5e3a1e0afca64284c20f/mat434.pdf
  5. Sur Numdam, site d'archives numérisées, Travaux de Baker par Jean-Pierre Serre, Séminaire Bourbaki 1969-70 :
    http://archive.numdam.org/article/SB_1969-1970__12__73_0.pdf
  6. La méthode de Gelfond en théorie des nombres transcendants (dont 7è problème de Hilbert), par Michel Waldschmidt :
    http://www.numdam.org/article/STNB_1970-1971____A1_0.pdf/
  7. Prix Adams : http://www.maths.cam.ac.uk/applications-adams-prize-2015-2016


Novikov Sergueï  Bourbaki
© Serge Mehl - www.chronomath.com