ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 NEUMANN Johannes (János, John) Von-,
américain, 1903-1957» Construction de N selon Von Neumann |
!
En mathématiques, les Neumann son nombreux. On ne le
confondra pas, en particulier, avec Karl Gootfried
Neumann (1832-1925).
Sources biographiques : CDSB , Alice Rolland in Les cahiers de Science & Vie, Hors-Série n°36, Qui a inventé l'ordinateur - Déc. 1996.
D'origine hongroise, fils d'un banquier réputé,
János
commence à étudier à Budapest. Enfant surdoué, il lit et mémorise tout ce qui lui tombe sous la
main, parle grec et latin à l'âge de 6 ans. Calculateur prodige, il stupéfie ses instituteurs
et les amis de la famille, dont Lipót Fejér
qui dirigera sa thèse, par sa mémoire prodigieuse et ses capacités en
calcul mental.
Malgré une situation politique instable en Hongrie, von Neumann entreprend des études supérieures de mathématiques à Budapest (1919-23) qu'il complète par trois années d'études de chimie à Berlin et Zurich. Il rencontrera ainsi Erhard Schmidt, Herman Weyl et Polya. Il s'intéresse en fait plus aux ensembles et aux nombres transfinis de Cantor qu'à la chimie... C'est à Budapest qu'il soutiendra finalement sa thèse dirigée par Fejér portant sur les ensembles transfinis (1926).
Professeur à Göttingen puis à l'université de Berlin, la réputation de von Neumann s'instaure outre-Atlantique : il se rend aux Etats-Unis à Princeton (New-Jersey) à l'invitation de Veblen (1930) à l'occasion de la mise en place du tout nouveau Institute for Advanced Study de Princeton.
De confession juive, afin d'échapper à la répression du pouvoir hitlérien soutenu par le régime hongrois, von Neumann s'installe définitivement aux USA en 1933 et fit toute sa carrière au célèbre institut. Il meurt prématurément, à 54 ans, d'un cancer des os sans doute causé par ses nombreuses expositions aux radiations lors des expérimentations pour la mise au point de la première bombe atomique (16 juillet 1945, Nouveau-Mexique).
Travaux fondamentaux en :
Théorie des ensembles (modification, avec Bernays, des axiomes de Zermelo).
Théorie axiomatique de la mécanique quantique (dès 1926). On lui doit en particulier Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik (1932).
Algèbre et topologie (espaces de Hilbert, opérateurs dans un tel espace) : les algèbres de Von Neumann, ainsi dénommées par Dixmier sont des algèbres non commutatives mises en place en tant qu'outil mathématique de la mécanique quantique.
C'est quoi une algèbre de Von Neumann ? : »
Théorie ergodique, parallèlement aux travaux fondamentaux de Birkhoff sur le sujet. Il apporta également une résolution partielle au 5ème problème de Hilbert.
La notion d'ergodicité : »
| Le père de l'ordinateur, de la bombe atomique et de la théorie des jeux : |
Von Neumann est considéré comme le père des ordinateurs modernes, architecture von Neumann à mémoire centrale binaire (le système binaire fut préconisé par Louis Couffignal en 1936). Son projet, l'EDVAC (Electronic Discrete Variable Automatic Computer) conçu en 1945, réalisé en 1951, est toutefois inspiré de l'ENIAC (Electronic Numerical Integrator And Computer), de J. P. Eckert et J. W. Mauchly, premier ordinateur électronique (à tubes) dont la logique de calcul était basée sur la machine abstraite de Turing.
Les systèmes de numération : » Le système binaire : »
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Explosion de la bombe atomique américaine à Nagasaki (9 août 1945).
Photo prise
par le pilote Charles Sweeney ayant largué la bombe.
Père aussi, avec le physicien Robert Oppenheimer (1904-1967, » bio sur Wikipédia), de la première bombe atomique, laquelle, justement, n'a pu voir le jour qu'après de longs et complexes calculs des premiers computers (» ordinateurs) américains.
Les premiers ordinateurs, (très) petite chronologie de l'informatique : »
On lui doit aussi, avec Shannon et Morgenstern, au début des années 1940 et à des fins initialement de défense militaire face aux invasions allemandes en Europe, les premières recherches en théorie des jeux . Le mot "jeu" doit être compris en tant que "stratégie". Cette théorie s'applique aux problèmes économiques ou militaires. En 1944, il publiera Theory of games and economic behavior.
» Babbage , Wiener , Tukey , Schützenberger
Von Neumann apporta ainsi une importante contribution à la cybernétique (fonctionnement des automates, intelligence artificielle) dont l'initiateur fut, à la même époque, le mathématicien américain Norbert Wiener (1894-1964). En France, cette nouvelle branche des mathématiques, où intervient le calcul des probabilités, sera étudiée par Borel, de Possel et, tout particulièrement, Berge.
| Les méthodes de Monte Carlo : |
Von Neumann est aussi à l'origine de méthodes probabilistes, dite de Monte Carlo (rappelant les jeux de hasard) employées là où les méthodes classiques d'analyse numérique s'avèrent inefficaces (phénomènes irréguliers ou très discontinus), problèmes de simulation et d'optimisation. Deux résultats élémentaires :
Résultat 1:
On considère un segment [AB] et D un point intérieur à ce segment. Supposons que l'on choisisse au hasard un point situé sur [AB].
Quelle est la probabilité p que l'on ait choisi un point de [AD] ?
Tenant compte de la distribution uniforme des points d'un segment, on a p = AD/AB : p est proportionnelle à la longueur AD.
Résultat 2:
De façon semblable au cas d'un segment, soit S un domaine plan fermé d'aire A et (s) un sous-domaine de S d'aire α. Supposons que l'on choisisse au hasard un point situé dans S. La probabilité p que l'on ait choisi un point de est α/A.
» calcul aléatoire d'une intégrale , aiguille de Buffon
| Construction de l'ensemble N des entiers naturels et nombre ordinal selon Von Neumann : |
Dans le cadre de la théorie des ensembles de Cantor, on peut construire l'ensemble des entiers naturels de la façon suivante. On note :
à l'ensemble vide, noté {} , ensemble n'ayant aucun élément, on associe 0 (zéro).
à l'ensemble réduit au seul ensemble vide { {} }, on associe 1 (un).
à l'ensemble composé des deux précédents ainsi rangés : { {} ,{{}} }, on associe 2 (deux).
à l'ensemble {{} , {{}} , { {} , {{}} } }, on associe 3.
...
On peut ainsi construire abstraitement, l'ensemble des entiers naturels à partir du concept d'ensemble en identifiant (signe ≡) un entier naturel à l'ensemble des entiers qui lui sont inférieurs :
0 ≡ {}, 1 ≡ {{}} = {0}, 2 ≡ { {} ,{{}} } = {0,1}
ii/ Si n = {0, 1, ..., n'}, son prédécesseur n' est noté n-1 et son successeur, noté n+1, est alors
n+1 = {0, 1..., n-1, {0, 1..., n-1}}
La suite d'éléments 0, 1, 2, ..., n, ... constitue un ensemble illimité (transfini) noté N; ses éléments sont les nombres entiers naturels (naturels car ils viennent -et vinrent- naturellement à l'esprit...).
Avec la notion de cardinal d'un ensemble due à Cantor : s'il existe une bijection de E sur {1..., n}, on dira que le cardinal de E est n et on pose n = Card E.
Revenons à la notation ensembliste en posant Ø = {} et posons :
ω = {Ø , {Ø}, {Ø ,{Ø}} , {Ø , {Ø}, {Ø ,{Ø}}} , {Ø , {Ø}, {Ø ,{Ø}} , {Ø , {Ø}, {Ø ,{Ø}}} , ... }
Cette ensemble est transfini (il a une infinité d'éléments) et jouit d'une propriété étonnante :
Pour tout élément x de ω, on peut écrire x ∈ ω et x ⊂ ω !
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a) Montrer que
la relation d'appartenance dans ω est antisymétrique et transitive mais non réflexive
(relation d'ordre strict)
b) Montrer que toute partie admet un
plus petit élément pour cette relation (bon
ordre strict).
»
bon ordre
La notion d'ordinal :
Un ensemble E est qualifié d'ordinal lorsque :
Pour tout x de E, x ⊂E.
La relation d'appartenance est un ordre strict dans E.
Toute partie de E admet un plus petit élément (bon ordre strict).
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a) Vérifier que est un ordinal. |
Si E est un ordinal, on ne peut pas trouver, au sens de l'inclusion, un ordinal strictement compris entre E et E∪{E}. On dit que E∪{E} est le successeur de E : on voit le lien avec la construction précédente de N.
L'ensemble ω est l'ordinal de N auquel il peut s'identifier de par sa construction.
Cantor et les nombres ordinaux : » Cantor et les nombres cardinaux : »
➔ Pour en savoir plus :
Cartan
Henri Paul