ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 TARSKI Alfred,
américain d'origine
polonaise, 1902-1983 |
D'origine polonaise,
il fit ses études à Varsovie et commença à y enseigner après la publication de
sa thèse Sur le terme primitif de la logistique (1924). Logicien et philosophe,
ses travaux porteront sur les fondements des mathématiques : théorie des
langages, théorie de la
démonstration, ou métamathématique,
initiée par Hilbert.
Il fit partie de ce qu'on appela le Cercle de Vienne (dès 1922), groupe de philosophes et de scientifiques adhérant aux nouvelles idées métaphysiques d'Albert Einstein et de Bertrand Russell.
L'Allemagne nazie envahit la Pologne en 1939, Tarski quitte son pays pour les Etats-Unis. Il enseignera à l'université de Berkeley (Californie).
Dans ses travaux, il évita de se confiner à tel ou tel courant de pensée : intuitionnisme (constructivisme), logicisme, formalisme.
Les grands courants de la pensée mathématique au début du 20è siècle : »
Tarski se pencha sur les problèmes de la décidabilité des énoncés et des théories mathématiques : une théorie axiomatique T (basée sur des axiomes, par exemple la géométrie euclidienne) est dite décidable si ses axiomes permettent de prouver que tout énoncé de T est ou n'est pas un théorème de T, c'est à dire qu'il est vrai ou faux.
Dans le cas contraire, la théorie est dite indécidable (ainsi que l'énoncé incriminé). Tarski montra (1926) qu'admettre l'hypothèse généralisée du continu dans la théorie axiomatique ZF des ensembles, nécessite d'admettre l'axiome du choix. Cohen prouva son indécidabilité en 1963. Il fut aussi prouvé (1927) la décidabilité de l'ordre des entiers naturels
➔ Ultérieurement, Tarski prouva la décidabilité de la structure de corps ordonné de R et de la géométrie euclidienne (1948), mais l'indécidabilité de la théorie des groupes (1953). Par contre, celle des groupes abéliens (commutatifs) est décidable (1958) : le résultat fut prouvé antérieurement pour l'addition des entiers (1929).
Tarski est à l'origine, avec son compatriote Abraham Robinson, de la théorie des modèles dans son traité intitulé Le concept de vérité dans le langage des sciences déductives (1933), branche aujourd'hui féconde de la logique portant sur la sémantique des langages mathématiques et la cohérence des théories construites au moyen de ces langages confrontées à des structures mathématiques (modèles) soumises à leurs axiomes.
Petite intro à la théorie des modèles : »
| Théorème du point fixe de Knaster-Tarski : |
Le théorème suivant généralise le résultat élémentaire selon lequel toute fonction numérique croissante d'un intervalle [a,b] dans lui-même, alors il existe un réel c de [a,b] tel que f(c) = c.
Dans un ensemble ordonné
(E,‹)
complètement réticulé (treillis complet), toute application
monotone f
de E dans lui-même admet au moins deux points
fixes, à savoir Inf
{x∈E, f(x) ‹
x} et Sup{x∈E, x ‹
f(x)}.
De plus, l'ensemble de ces points fixes est lui-même complètement réticulé.
Preuve : la preuve de ce résultat est relativement simple et constitue un très bon exercice sur les notions de borne inf et sup. » réf.6.
i Bronislaw Knaster (1893-1980) : mathématicien polonais qui étudia la topologie à Varsovie en compagnie de Kuratowski sous la direction de Stephan Mazurkiewicz. Il obtient son doctorat en 1921 (thèse intitulée Un continu dont tout sous-continu est indécomposable, » réf.6). Spécialisé en topologie, Knaster enseigna principalement à l'université de Wroclaw (fondée en 1702).
| Problème de Tarski (1925) : |
Peut-on découper un carré de sorte que les morceaux permettent de construire un disque de même aire ?
Ceci fait penser à la quadrature du cercle, mais le problème est différent et la réponse est positive (Laczkovitch, 1988).
➔ Pour en savoir plus :
Logique mathématique, tome 2 : Fonctions récursives, théorème de Gödel, théorie des ensembles, théorie des modèles
par René
Cori, Daniel Lascar. Éd. Dunod, Paris, 2003.
Qu'est-ce que la théorie des modèles ? page de Luck Darnière, maître de
conférences, Université d'Angers :
http://math.univ-angers.fr/~darniere/ThMod.html.
Théorie des modèles sur le «Portail de la logique» (Wikipédia,
article participatif non signé) :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorie_des_modèles.
Points fixes et fonctions monotones, par Anne Dicky (2009) :
https://www.labri.fr/perso/gimbert/enseignement/lc/Dicky 1 Points-fixes.pdf
Thèse de B. Knaster, Un continu dont tout sous-continu est
indécomposable (Acad. Sciences de Pologne) :
http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm3/fm3126.pdf
Brelot
