ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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STEINHAUS Hugo Wladislav Dyonizy, polonais, 1887-1972

Portrait et source biographique :  www.maximus.pl & pl.wikipedia.org (Pologne)

Après des études secondaires à Jaslo, sa ville natale, Steinhaus commença des études de philosophie et de mathématiques à Lvov (1905). Mais, l'année suivante, son choix est fait, il se rend à Berlin puis à Göttingen, célèbre université allemande où étudie et enseigne le gotha des mathématiques européennes. Ses professeurs furent notamment Klein et Hilbert.

En 1911, Steinhaus soutient brillamment sa thèse de doctorat, Nouvelles applications du principe de Dirichlet, sous la direction de Hilbert. Appelé sous les drapeaux, Steinhaus rejoint Jaslo tout en poursuivant ses recherches en mathématiques.

Dirichlet

La 1ère guerre mondiale éclate et ce n'est qu'en 1917 qu'il obtiendra un poste d'assistant à Lvov puis une chaire en 1920 qu'il conservera jusqu'en 1941, année où l'Allemagne nazie envahit la ville déjà occupée par l'armée soviétique. De confession juive, Steinhaus est tout particulièrement en péril. Grâce à un prend un nom d'emprunt, il poursuit ses travaux et enseignements.

Avec un de ses étudiants, Stéphane Banach (plus jeune de 5 années seulement), Steinhaus est à l'origine de la renommée de l'université de Lvov et de son "école" d'analyse fonctionnelle. C'est avec Banach qu'il fonde (1929) la revue Studia Mathematica qui contribua à faire connaître les mathématiques polonaises en Europe. A l'issue de la guerre, il est nommé à l'institut polytechnique de Wroclaw, poste qu'il conserva jusqu'à sa retraite.

Auteur de très nombreuses publications, outre l'analyse fonctionnelle et les problèmes d'approximation, ses recherches portèrent sur la théorie des probabilités dans le nouveau cadre de la mesure de Lebesgue avec lequel il correspondit.

Théorème de Banach-Steinhaus (≈ 1927) :

Il existe un grand nombre de formulations de ce théorème. Il en est donné trois ci-après.

Rappelons tout d'abord que si f est une application linéaire (opérateur linéaire) d'un espace vectoriel normé X à valeurs dans un espace vectoriel normé Y, c'est à dire un élément de (X,Y), sa continuité de f équivaut à sa continuité en zéro.

Preuve : la continuité 0 s'écrit

∀ε > 0, ∃h > 0,  || x ||    h    || f(x) || ε

Supposons-la réalisée. Soit xo un élément quelconque de E. Pour tout x de E tel que || x - xo ||    h, on a   || f(x - xo ) || ε, c'est dire, par additivité :  || f(x) - f(xo) || ε, ce qui prouve la continuité de f en xo.

Elle est alors uniformément continue (h ne dépend pas de xo mais seulement de ε). On remarque alors que la continuité de f en zéro est équivalente à :

∃M > 0,  ∀x ∈ X :  || f(x) || M. || x ||

La borne inférieure de tels nombres M est, par définition la norme de f dans l'espace F = (X,Y). En notant || f ||F cette norme, on peut montrer que :


Montrer que si f est un élément de  (X,Y), f continue f lipschitzienne

Munis de la topologie définie par leur norme, X et Y sont des espaces vectoriels topologiques. Une partie A de X est dite bornée s'il existe un voisinage de zéro dans lequel elle est incluse :

∃k > 0 / ∀a ∈ A :  || a || k

Un élément f de (X,Y) est dit borné si l'ensemble des valeurs f(x) prises par f est une partie bornée de Y. Pour qu'il en soit ainsi, on peut se restreindre à x décrivant la boule unité de X.

Une suite (fn) d'opérateurs linéaires continus est dite bornée si tous les fn lorsque n parcourt N sont bornés. On démontre alors que la suite (fn) est bornée si et seulement si :

Formulation 1 :       

Soit X et Y deux espaces de Banach et (fn) une suite d'applications linéaires continues de X dans Y. On suppose que pour tout x de X, la suite fn(x) est convergente. Alors, il existe une application f linéaire et continue de X dans Y telle que, pour tout x de X, f(x) est la limite de fn(x).

Formulation 2 :       

Soit X et Y deux espaces de Banach et (fn) une suite bornée d'applications linéaires continues de X dans Y. Alors, pour qu'il existe une application f linéaire et continue de X dans Y telle que, pour tout x de X, f(x) soit la limite de fn(x), il suffit que ce résultat soit vérifié pour tout x d'une partie dense de X.

Formulation 3  (uniform boundedness theorem également appelé resonance theorem) :       

Soit X un espace de Banach, Y un espace vectoriel normé et (fn) une suite d'applications linéaires bornées dans F = (X,Y). Alors, si Supn ||fn(x)|| < + ∞ pour tout x de X, on a  Supn || fn ||F < + ∞

Ce résultat justifie l'appellation anglo-saxonne de théorème de la borne uniforme. La notation Supn voulant ici désigner la borne supérieure pour n décrivant N.

  Lvov fut, et est encore, une ville universitaire renommée : polonaise dès 1349, elle devient autrichienne en 1772 et sera la capitale de la province de Galicie. Tout comme Cracovie, à l'issue de la 1ère guerre mondiale, Lvov est rendue à la Pologne. Mais, disputée entre russes et allemands, elle deviendra  ukrainienne (au sein de l'ex URSS) après la seconde seconde guerre mondiale.

 Pour en savoir plus :


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