ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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VOLTERRA Vito, italien, 1860-1940

Après des études de physique à Florence, Volterra approfondit ses connaissances en mathématiques et physique à l'université de Pise (Pisa, Italie) où Betti fut son professeur. Il y enseignera la mécanique dès 1883. Dix ans plus tard, il obtient une chaire à l'université de Turin et, en 1900, succède Beltrami à l'université de Rome.

à la suite de la première guerre mondiale, l'arrivée du fascisme en Italie installa Benito Mussolini au pouvoir (dès 1922) sous le règne de Victor-Emmanuel III. Avec les pleins pouvoirs qu'il obtenait en 1926, le Duce se rapprocha de l'Allemagne nazie (1936). S'opposant au fascisme, Volterra dut quitter sa chaire en 1931.

Ses travaux portent essentiellement sur la théorie des équations intégrales (Inversion des intégrales définies, 1895-98) et l'analyse fonctionnelle (appellation due à Lévy) parallèlement à ceux du physicien et mathématicien suédois Fredholm qui en établira une théorie complète.

Ascoli , Arzela , Pincherle , Hilbert , Banach , Fréchet , Tonelli , Riesz , Carl G. Neumann

L'analyse fonctionnelle fut initiée par Euler : l'intense développement de la physique (thermodynamique, électricité, mécanique, ...) demande ses outils mathématiques puissants, comme les équations différentielles, les équations aux dérivées partielles, le calcul des variations ou encore les équations intégrales évoquées ci-dessous. Les inconnues ne sont alors plus des nombres mais des fonctions : celles qui régissent l'évolution des observations et des objets physiques étudiés. D'où la mise en place des espaces fonctionnels comme les espaces métriques de Fréchet et les espaces vectoriels normés de Hilbert, de Banach où les vecteurs sont ici des fonctions.

Lévy et le développement de l'analyse fonctionnelle :

Notion d'équation intégrale et d'équation intégro-différentielle :

Une équation intégrale est une équation dont l'inconnue est une fonction apparaissant dans une intégrale. En écrivant par exemple :

on définit une équation intégrale (triviale) dont la solution est aisée si h est dérivable sur l'intervalle considéré : par dérivation, f(x) = h'(x). Dans le cas général, la résolution est extrêmement complexe et la méthode privilégiée est de remplacer f par son développement en série (sous conditions d'existence d'un tel développement.

D'une façon générale, h étant donné, une équation intégrale d'inconnue f est de la forme Af = h (1ère espèce) ou Af - f = h (deuxième espèce) où A est un opérateur intégral linéaire (généralement un endomorphisme de L2). Noter que Af - f  = h peut s'écrire Bf = h, avec B = A - I où I désigne l'opérateur identique.

Rechercher f, c'est inverser en quelque sorte l'écriture Af = h afin d'écrire f = A-1h en recherchant l'opérateur inverse.

On peut poser Af = h et A apparaît alors comme l'opérateur d'intégration, A-1 sera l'opérateur de dérivation : f = h'.

Équation intégrale de Volterra de 1ère espèce (d'inconnue f ) :     

la fonction (x,t)k(x,t) est le noyau, appellation due à Fredholm. Lorsque k(x,t) = (x - t)-1/2, on retrouve l'équation intégrale d'Abel.

Équation intégrale de Volterra de 2ème espèce  (d'inconnue f , de noyau k) :     

Les conditions sont généralement h' continue, kx(x,y) continu par rapport à x pour tout y fixé et k(x,x) non nul.

Noter que l'équation de Fredholm n'est autre que le cas où la borne x est une constante. Le lecteur intéressé pourra consulter les Leçons sur les équation intégrales de Volterra ( réf. 1a, ci-dessous).

Équation intégro-différentielle :   

Lorsque, dans une équation intégrale, apparaît de surcroit la dérivée de la fonction recherchée, on parle d'équation intégro-différentielle. On pourra consulter les Leçons de Volterra ( réf. 1b, ci-dessous).

        Équation intégrale d'Abel :                     Équation intégrale de Fredholm :

Pour en savoir plus :

  1. a/ Les Leçons sur les équations intégrales et les équations intégro-différentielles de Volterra
    publiées en 1913 par MM Tomassetti et Zarlatti sur Internet Archive :
    https://archive.org/stream/leonssurlesq00voltuoft#page/n5/mode/2up
    b/ sur les équations integro-différentielles :
    https://archive.org/stream/leonssurlesq00voltuoft#page/n147/mode/2up
  2. Les équations intégrales d'Abel-Volterra :
    https://archive.org/stream/leonssurlesq00voltuoft#page/34/mode/2up
  3. Équations intégrales et équations différentielles, par Tan Lei, univ. Angers :
    http://www.math.univ-angers.fr/~tanlei/papers/english-reading/poly-2013.pdf
  4. Mémoire de Bachir Gagui (Université de M'sila, Algérie) :
    Résolution des équations intégrales par les méthodes adaptatives :
    http://www.univ-msila.dz/fr/multimedia/upload/File/les Mémoires de magistére/Mémoires Maths/....pdf
  5. Problèmes inverses, ch.2 en particulier, par Michel Kern, INRIA :
    http://www-rocq.inria.fr/~kern/Teaching/ESILV/inverse.pdf
  6. Intégration & Analyse hilbertienne, par Alain Guichardet
    Éd. X École polytechnique, Ellipses, 1989


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