ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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VOLTERRA Vito, italien, 1860-1940

Après des études de physique à Florence, Volterra approfondit ses connaissances en mathématiques et physique à l'université de Pise (Pisa, Italie) où Betti fut son professeur. Il y enseignera la mécanique dès 1883. En 1887, il publie à Rome un article fondateur : Sopra le funzioni che dipendono da altre funzioni (Sur les fonctions qui dépendant d'autres fonctions) pouvant être considéré comme l'acte de naissance de l'analyse fonctionnelle moderne (appellation de Paul Lévy, 1822). Il y définit le concept général d'opérateur, une généralisation de la notion de fonction dont le domaine de départ et d'arrivée ne sont plus des nombres mais des fonctions.

En 1893, il obtient une chaire à l'université de Turin et, en 1900, succède Beltrami à l'université de Rome. à la suite de la première guerre mondiale, l'arrivée du fascisme en Italie installa Benito Mussolini au pouvoir (dès 1922) sous le règne de Victor-Emmanuel III. Avec les pleins pouvoirs qu'il obtenait en 1926, le Duce se rapprocha de l'Allemagne nazie (1936). S'opposant au fascisme, Volterra dut quitter sa chaire en 1931.

Volterra consacra ses recherches et son enseignement à l'analyse fonctionnelle parallèlement à ceux du physicien et mathématicien suédois Fredholm. Un de ses traités majeurs porte sur la théorie des équations intégrales (Inversion des intégrales définies, 1895-98), un sujet fondamental de physique mathématique. Ses leçons sur les équations intégrales (1913) sont encore aujourd'hui un modèle incontournable sur sujet.

  Ascoli , Arzela , Hilbert , Banach , Hadamard , Fréchet , Gateaux , Carl Neumann

C'est quoi l'analyse fonctionnelle ?   

Les prémisses apparaissent au 18è siècle (dans les années 1730) engendrée par les problèmes relevant des sciences physiques : on parle de physique mathématique dont Daniel Bernoulli peut être considéré comme le "père" fondateur. L'intense développement de la physique (thermodynamique, électricité, mécanique, ...) demandait des outils mathématiques puissants, comme les équations différentielles, les équations aux dérivées partielles, le calcul des variations ou encore les équations intégrales comme évoquées ci-après.

L'analyse fonctionnelle fut initiée principalement par Johann Bernoulli et développée par Leonhard Euler, son élève à Bâle. Les inconnues ne sont alors plus nécessairement des nombres mais des fonctions : celles qui régissent l'évolution des observations et des objets physiques étudiés. D'où la mise en place des espaces vectoriels de Hilbert et de Banach de dimension infinie où les vecteurs sont des fonctions, des espaces vectoriels topologiques, des espaces métriques de Fréchet et, dans les années 1940, de la théorie des distributions de Sergueï Sobolev Izrael Guelfand et Laurent Schwartz.

Dans ce contexte, on qualifiait de fonctionnelle une fonction φ définie dans un espace fonctionnel. On lui préfère aujourd'hui le terme d'opérateur. Lorsque  φ s'avère numérique, on parle de forme. ( Applications linéaires).

  Riesz , J. von Neumann , Fejèr , Haar , Wiener

Notion d'équation intégrale et d'équation intégro-différentielle :

Une équation intégrale est une équation dont l'inconnue est une fonction apparaissant dans une intégrale. En écrivant par exemple :

on définit une équation intégrale dont la solution est aisée si h est dérivable sur l'intervalle considéré : par dérivation, f(x) = h'(x).

On parle aussi d'inversion d'une intégrale définie, terminologie que l'on peut ainsi justifier : d'une façon générale, h étant donné, une équation intégrale d'inconnue f peut s'écrire Af = h où A est un opérateur intégral linéaire (généralement un endomorphisme de L2). Rechercher f, c'est inverser en quelque sorte l'écriture Af = h afin d'écrire f = A-1h en recherchant l'opérateur inverse.

On distingue la forme Af = h (1ère espèce) de la forme Af - f = h (deuxième espèce) qui peut s'écrire Bf = h, avec B = A - I où I désigne l'opérateur identique.

Dans le cas général, la résolution d'une équation intégrale est extrêmement complexe et la méthode privilégiée est de remplacer f par son développement en série (sous conditions d'existence d'un tel développement).

On peut poser Af = h et A apparaît alors comme l'opérateur d'intégration, A-1 sera l'opérateur de dérivation : f = h'.

Équation intégrale de Volterra de 1ère espèce (d'inconnue f ) :     

la fonction (x,t)k(x,t) est le noyau, appellation due à Fredholm. Lorsque k(x,t) = (x - t)-1/2, on retrouve l'équation intégrale d'Abel.

Équation intégrale de Volterra de 2ème espèce  (d'inconnue f , de noyau k) :     

Les conditions sont généralement h' continue, kx(x,y) continu par rapport à x pour tout y fixé et k(x,x) non nul.

Noter que l'équation de Fredholm n'est autre que le cas où la borne x est une constante. Le lecteur intéressé pourra consulter les Leçons sur les équation intégrales de Volterra ( réf.2a, ci-dessous).

Équation intégro-différentielle :   

Lorsque, dans une équation intégrale, apparaît de surcroit la dérivée de la fonction recherchée, on parle d'équation intégro-différentielle. On pourra consulter les Leçons de Volterra ( réf.2b, ci-dessous).

        Équation intégrale d'Abel :                     Équation intégrale de Fredholm :


Pour en savoir plus :

  1. L'analyse fonctionnelle : aperçu historique développé par Jean Dieudonné in :
    ABRÉGÉ D'HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES, Ed. Hermann - 1992
  2. a/ Les Leçons sur les équations intégrales et les équations intégro-différentielles de Volterra
    publiées en 1913 par MM Tomassetti et Zarlatti sur Internet Archive (en français) :
    ttps://archive.org/stream/leonssurlesq00voltuoft#page/n5/mode/2up
    b/ Sur les équations intégro-différentielles (sur archive.org):
    https://archive.org/stream/leonssurlesq00voltuoft#page/n147/mode/2u ou bien (sur projecteuclid.org) :
    https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.acta/1485887334
  3. Les équations intégrales d'Abel-Volterra :
    https://archive.org/stream/leonssurlesq00voltuoft#page/34/mode/2up
  4. Équations intégrales et équations différentielles, par Tan Lei, univ. Angers :
    http://www.math.univ-angers.fr/~tanlei/papers/english-reading/poly-2013.pdf
  5. Mémoire de Bachir Gagui (Université de M'sila, Algérie) :
    Résolution des équations intégrales par les méthodes adaptatives :
    http://www.univ-msila.dz/fr/multimedia/upload/File/les Mémoires de magistére/Mémoires Maths/....pdf
  6. Problèmes inverses, ch.2 en particulier, par Michel Kern, INRIA : http://www-rocq.inria.fr/~kern/Teaching/ESILV/inverse.pdf
  7. Intégration & Analyse hilbertienne, par Alain Guichardet, Éditions X École polytechnique, Ellipses, 1989.


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