ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Construction des courbes de Peano et de Peano-Hilbert 
 
Mandelbrot , Sierpinski , Julia , Peano , Hilbert

1°/  Étude de la courbe de Peano (1890) :       

Considérons (figure ci-dessous à gauche) un carré subdivisé en une grille 3 x 3. Traçons sa diagonale sud-ouest nord-est et remplaçons-la par le chemin indiqué ci-contre en suivant les flèches :

entrée sud-ouest chemin bleu  chemin noir  chemin rouge  sortie nord-est

            

Le procédé a fait apparaître 9 diagonales dans chaque case de la grille. On réitère le procédé sur chacune d'elles (figure ci-dessus à droite). Et afin d'obtenir un chemin entrée sud-ouest sortie nord-est, on fait subir à chaque motif une rotation de 90° afin de rendre connexe les entrées-sorties vertes.

En plus grand (échelle 3/1), vous entrerez et sortirez de ce labyrinthe sans difficulté en respectant dans chaque case le parcours ci-dessus sans repasser deux fois sur une même diagonale (seulement des points doubles) :

En répétant à l'infini le processus, Peano montra que cette « courbe » remplit le carré. Ce n'est pas une courbe fractale au sens propre, puisqu'au contraire, l'aspect devient de plus en plus dense. Sa dimension doit être 2 : coïncidence avec une surface. En effet, à chaque itération, le motif de base (une diagonale) est remplacé par 9 motifs dans le rapport 1/3, la dimension fractale est donc log9/log3 = 2log3/log3 = 2.

2°/  Étude de la courbe de Peano-Hilbert (1891) :       

On considère un carré de centre O. Il est divisible en quatre carrés isométriques de type (c) :

                   

étape 1 : Joignons les centres et effaçons le côté inférieur. Appelons (M) une tel motif. La courbe possède un point d'entrée (e) et un point de sortie (s).

étape 2 : à l’échelle 1/2, on peut faire de même dans (c). Dans le carré inférieur (figure de droite), on place le même motif tourné de 90° (rotation dans le sens des aiguilles d’une montre).

On rend continue la figure obtenue en joignant leurs deux points d’entrée et pour terminer le motif, on la symétrise par rapport à l’axe vertical du carré initial. On rend continue la figure obtenue en joignant le point de sortie supérieur et son symétrique. La courbe possède alors un point d’entrée (e) sud-ouest et un point de sortie sud-est (s) : c’est le motif principal (M’) en forme de créneau.

étape 3 : à l’échelle 1/4, on reproduit le motif (M’) dans le carré (c). On place le même motif tourné de 90° (rotation dans le sens des aiguilles d’une montre. On rend continue la figure obtenue en joignant leurs deux points d’entrée et pour terminer le motif, on la symétrise par rapport à l’axe vertical du carré initial.

On voit là l’itération : la courbe possède encore un point d’entrée (e) sud-ouest et un point de sortie sud-est (s). Le motif est reproductible à l’échelle 1/8. On obtient les motifs ci-contre (1/8 et 1/16).

En appelant J le côté inférieur du carré assimilé à l'intervalle [0;1], Hilbert montra que cette « courbe » admet une représentation paramétrée continue surjective (non injective) de J sur J x J : elle remplit le carré. La dimension fractale de cette courbe est donc encore égale à 2. On peut la programmer récursivement sur ordinateur. A rapprocher de la courbe du dragon ( réf.3 ci-dessous).


Pour savoir plus... :

  1. a/ Courbe du dragon : : http://www.math.u-psud.fr/~pansu/Till.html, page de Pierre Pansu - univ. Orsay/Paris-Sud.
    b/ Autre approche : http://www.mathcurve.com/fractals/dragon/dragon.shtml sur le site de Robert Ferréol & Jacques Mandonnet.


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