ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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CLEBSCH Rudolf Friedrich Alfred, allemand, 1833-1872

Après des études de physique à Königsberg (Kaliningrad, sa ville natale) et une thèse en hydrodynamique (1854), Rudolf Clebsch commença à enseigner la physique théorique mais se tourne finalement vers les mathématiques pures (dès 1858) et entame sa carrière à Berlin. Il enseignera ensuite à Karlsruhe (1863-68), à Giessen puis à Göttingen.

En analyse, Clebsch compléta des travaux de Jacobi sur le calcul des variations et les systèmes d'équations différentiels) avant d'aborder la géométrie algébrique dans l'étude des courbes et surfaces algébriques dont il deviendra, avec la théorie des invariants algébriques initiée par les anglais Sylvester et Cayley, un spécialiste. Ces travaux seront poursuivis par Max Noether, son élève à Giessen.

En collaboration avec son compatriote Paul Gordan, on lui doit une nouvelle théorie des fonctions abéliennes fondée sur la théorie des courbes algébriques (Theorie der Abelschen Funktionen, 1866).

  En 1868, Clebsch fut le cofondateur, avec K. G. Neumann, de la revue Mathematische Annalen consultable en ligne sur  εuDML (https://eudml.org/journal/10142) ainsi que sur le site de l'université de Göttingen à l'adresse http://gdz.sub.uni-goettingen.de.

Genre d'une courbe et d'une surface :

Dans les années 1860, Clebsch, poursuivant des travaux de Plücker étudie les courbes et surfaces algébriques et introduit (1864), afin de classification, la notion de genre d'une courbe algébrique plane, à savoir le nombre

½(n - 1)(n  - 2) - d

où d désigne son nombre de points doubles ou, plus généralement, multiples.

Si, en un point multiple d'ordre p, les tangentes à (c) sont distinctes, alors ce point multiple équivaut à ½p(p - 1) points doubles. Clebsch montra que le genre est invariant par transformations birationnelles.

Clebsch se pencha également sur la classification des surfaces algébriques en étudiant celles qui peuvent se correspondre par transformation continue (homéomorphisme). Ce qui revient grosso modo à étudier leurs nombres de trous, ce nombre étant lié aux problèmes de connexité.

Le genre d'une surface est le nombre maximal de découpes suivant une courbe fermée que l'on peut effectuer sur la surface de sorte que celle-ci soit encore connexe (d'un seul tenant).

C'est un problème difficile de topologie que Riemann étudiera également. La sphère ou l'ellipsoïde sont de genre 0. Le tore est de genre 1 (si on le coupe correctement...) ainsi que le ruban de Môbius. La bouteille de Klein est de genre 2.

Un "bretzel" comme ci-contre, que l'on peut interpréter comme un tore à 2 trous), est également de genre 2. Mais cette propriété apparut insuffisante pour la classification des surfaces.

Riemann, puis Hilbert et Poincaré apportèrent d'autres critères (caractéristique d'Euler-Poincaré) en associant à toute surface un graphe connexe polygonal associé aux nombres de Betti dans le cadre de la topologie combinatoire et algébrique.

Théorème de Euler-Descartes pour les polyèdres convexes :

Pour en savoir plus :


Sylow  Fuchs
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