ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

GÖDEL Kurt Friedrich, américain d'origine autrichienne, 1906-1978

Mathématicien et philosophe d'origine autrichienne, le plus grand logicien depuis Aristote, selon Von Neumann. Après avoir débuté des études de physique à Vienne, il se passionne pour la théorie des nombres en suivant les cours de Phillip Fürtwängler (1869-1940) -de la même famille que le célèbre chef d'orchestre Wilhelm Fürtwängler- et poursuit dès lors (1926) des études de mathématiques tout en s'intéressant à la philosophie.

Sa thèse, Sur la complétude du système logique (1929) est supervisée par Hahn à l'université de Vienne. Professeur en cette même université, c'est à 25 ans qu'il énonça son célèbre théorème d'incomplétude.

L'arrivée d'Hitler au pouvoir en 1933 va perturber la carrière du jeune mathématicien. Il n'est pas juif, mais les nazis lui reprochent ses relations avec certains scientifiques juifs de Vienne. Mais la réputation de Gödel a traversé l'Atlantique, Veblen, chargé du tout nouvel Institute for Advanced Study, l'invite à Princeton et deviendra un ami fidèle. Il y rencontrera Church et von Neumann.

Malgré sa santé fragile, anorexique et sujet à de graves dépressions, ses brillants travaux n'en seront pas affectés. Gödel reviendra aux Etats-Unis en 1935 et 1938 et quittera définitivement l'Autriche en février 1940 en s'établissant à Princeton, avec sa femme Adèle Nimburski (une danseuse d'un night-club de Vienne qu'il côtoyait depuis 10 ans et qu'il épousa en 1938).

Gödel poursuivit ses recherches au sein du célèbre Institute for Advanced Study où il côtoie Albert Einstein. à l'exception de réflexions philosophiques portant en particulier sur la nature de l'espace-temps où il envisage la possibilité de revisiter le passé, Gödel consacra sa carrière à la logique dans le cadre du fondement des mathématiques et formula des théorèmes fondamentaux (c'est logique...) portant sur les relations indécidables et la consistance des théories mathématiques.

Consistance (cohérence) et indécidabilité :

Au sein d'une théorie, Gödel qualifie d'indécidable une relation dont on ne peut dire, au moyen des axiomes de la théorie, qu'elle est vraie ou fausse. Une théorie est dite contradictoire ou, suivant l'époque et les mathématiciens, non consistante ou non cohérente, si le système d'axiomes qui la définit aboutit à une contradiction, c'est à dire à l'existence d'un théorème qui serait, dans la théorie elle-même, à la fois vrai et faux. Le qualificatif satisfaisable (au sens de "qui peut être satisfait") est parfois employé comme synonyme de consistant, mais son usage prend mieux son sens dans le cadre de la théorie des modèles.

  Tarski , Skolem , Henkin , Maltsev                 Aristote et logique aristotélicienne :  

Théorème de complétude (thèse de 1929) :

On dit qu'une théorie axiomatique T est complète si toute assertion A énoncée dans T peut être prouvée (déduite) au seul moyen des axiomes de T. On obtient alors un nouveau théorème de T. La géométrie euclidienne est complète (Tarski, 1951). De même celle de Lobatchevski, dite hyperbolique.

Soit T est une théorie axiomatique sur un langage du premier ordre et A une assertion satisfaisable dans tout modèle de T, alors A est démontrable dans T (peut être déduite des axiomes de T).

Théorie des langages, fonctions récursives et le théorème d'incomplétude (1930-31) :

En 1930, dans le cadre de la théorie de la démonstration (programme de Hilbert, 1928), Gödel, dans son traité Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls (L'intégralité des axiomes de la logique du calcul des fonctions) redéfinit le langage mathématique de l'arithmétique de Peano en introduisant le concept de fonctions récursives initié par Skolem en 1923.

Une théorie mathématique constitue une théorie formalisée (on parle aussi dans ce contexte d'un système formel) lorsque celle-ci est explicitée à partir d'un nombre fini (ou au plus dénombrable) de paramètres et conditions d'écriture (syntaxe) qui définissent son langage :

variables et constantes    axiomes   relations (=, <, ...)  
connecteurs logiques (ET, OU, négation, implication, ...)
quantificateurs, opérations ensemblistes (, , , ...)

L'usage complémentaire d'un certain nombre de symboles conduit à un langage propre à la théorie en question. A partir de ces objets de base, on construit des expressions qui, par composition (raisonnement), en induisent de nouvelles.

  En logique mathématique,  on parle parfois de langage formel  ou de langage symbolique pour exprimer l'idée d'un langage basé sur une logique pouvant conduire à des raisonnements déductifs abstraction faite de toute application à des cas particuliers ou concrets

La notion mathématique de modèle d'une théorie :

Une fonction récursive d'une ou plusieurs variables entières est décrite par un algorithme permettant de l'évaluer en un nombre fini d'étapes au moyen de certaines opérations fondamentales. On parle aussi de fonction calculable.

Par un processus complexe Gödel ramène les symboles, fonctions, formules et énoncés (finis) à un entier premier, puissance ou produit de puissances de nombres premiers (les nombres de Gödel). L'unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers permet une association sans ambiguïté.

  La notion actuelle de fonction récursive rencontrée en programmation (faisant appel à elle-même dans sa définition, comme ici celle du PGCD) est née de ces nouveaux concepts.

En savoir un peu plus sur les fonctions récursives :                   Turing , Church , Kleene , Rózsa Péter , Kalmár

Théorème d'incomplétude :       

Au moyen des nouveaux outils théoriques évoqués ci-dessus et permettant de définir toute opération arithmétique, fonction ou assertion, Gödel prouva ce résultat bouleversant, tant sur  le plan mathématique que philosophique, à savoir que :

Toute théorie formelle T (fondée sur une axiomatique) consistante et susceptible de formaliser
en son sein l'arithmétique
(théorie axiomatique des nombres),
est incomplète.

  Ackermann                        Axiomatique de Peano :

C'est dire qu'il existe au moins une proposition de l'arithmétique indémontrable dans T : elle est indécidable, on ne pourra prouver ni qu'elle est vraie ni qu'elle est fausse.

Gödel qui hésitait dans sa jeunesse entre formalisme et intuitionnisme, répond ainsi par la négative au deuxième problème de Hilbert. Ce résultat ruine également les espérances de ce dernier quant au formalisme, panacée supposée (programme de Hilbert, 1928) face aux contradictions et incertitudes rencontrées depuis la création de la théorie des ensembles de Cantor. Il montre les limites du raisonnement logique et l'impossibilité de construire l'arithmétique sur le seul support logique comme le voulaient les partisans du logicisme que furent Frege et Russell.

Hilbert et la métamathématique :                Kalmár , Rózsa Péter

Autre découverte fondamentale de Gödel (Princeton, 1937-38) :

Après les résultats fondamentaux sur les fonctions calculables (1926-1936) aboutissant à son théorème d'incomplétude, Gödel se penche sur le très difficile problème posé par Cantor : l'hypothèse du continu, à savoir s'il existe ou non un ensemble dont le cardinal soit compris entre Card N et Card R. Dans une série d'articles intitulée The consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum hypothesis with the axioms of set theory, Gödel concluait en 1938 :

Si la théorie des ensembles est consistante, on peut lui ajouter l'hypothèse du continu  et/ou l'axiome du choix, elle restera non contradictoire.

Mais Gödel, accaparé par d'autres sujets, dont la théorie de la relativité d'Einstein, n'ira pas plus loin sur ce sujet. Ce sera Cohen qui apportera la réponse en 1963 : indécidable !

  Tarski , Henkin , Cohen , Robinson

Prix Gödel :

Ce prix récompense des travaux en informatique théorique (théorie des langages, algorithmique, théorie des jeux, cryptographie, ... ). Créé en 1992 par l'Association européenne pour l'informatique théorique (EATCS : European Association for Theoretical computer Science) et l'ACM (Association for Computing Machinery, États-Unis), ce prix annuel récompense des articles innovants en informatique théorique. Son montant est de 5000 $ US. On trouvera sur le site de l'ATCS la liste des lauréats depuis 1993 et les sujets abordés. L'ACM est également à l'origine du prix Turing.


 Pour en savoir plus :

  1. Max Dehn, Kurt Godel and the Transsiberian escape route : http://www.ams.org/notices/200209/fea-dawson.pdf
  2. Recursive functions and Computability from Gödel to Turing, par Rod Adams, Docent Press, Boston (USA) - 2011.
  3. Théorèmes d'incomplétude de Gödel, par Alexandre Miquel, maître de conférences en informatique, ENS Lyon :
    http://perso.ens-lyon.fr/alexandre.miquel/enseignement/goedel.pdf
  4. Logique mathématique (tome 1 : théorèmes de complétude, tome 2 :  théorème de Gödel)
    par René Cori et Daniel Lascar. Éd. Dunod, Paris, 2003.
  5. La théorie des fonctions récursives et ses applications, par D. Lacombe (Bulletin de la SMF,1960)
    http://archive.numdam.org/ARCHIVE/BSMF/BSMF_1960__88_/BSMF_1960__88__393_...pdf
  6. Ensembles récursivement énumérables et 10è problème de Hilbert
    http://www.mathkang.org/cite/confC01.html
  7. Ensembles récursivement énumérables et théorème de Gödel, cours de Jean Betrema : http://www.labri.fr/perso/betrema/MC/MC4.html
  8. Calculabilité et décidabilité, ensembles récursivement énumérables, cours d'Alain Lecomte : http://brassens.upmf-grenoble.fr/~alecomte/indeci.pdf
  9. Les Algorithmes par Patrice Hernert, Que sais-je n° 2928, Ed. P.U.F., Paris - 1995.
  10. ABRÉGÉ D'HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES, 1700-1900, Jean Dieudonné, Ch.11,
    par Marcel Guillaume, Ed. Hermann, Paris, 1978-1992.
  11. Gödel Escher Bach : Les Brins d'une Guirlande Eternelle, par Douglas Hofstadter,
    Ed. InterEditions - Paris 1985  (Un livre superbe, à lire dans le calme... : )
  12. La Déesse des petites victoires, par Yannick Grannec, Ed. Anne Carrière, Paris - 2012.
    (Fiction : la vie romancée de Gödel racontée par son épouse Adèle).
     


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