ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 HAUSDORFF Félix,
allemand, 1868-1942 |
Philosophe, poète, physicien et astronome, sa thèse soutenue à Leipzig en 1891 porte sur la réfraction de la lumière. Auteur d'essais philosophiques et de pièces de théâtre, sa contribution en mathématiques débute en 1902 lorsqu'il obtient un poste d'enseignement à Leipzig.
Nommé à Bonn (1913), il conserva ce poste jusqu'en 1935 : de confession juive, pourchassé par les nazis, Hausdorff dut quitter ses fonctions. Lors de la seconde guerre mondiale, il se suicida pour échapper à la déportation.
On doit à Hausdorff la mise en place rigoureuse
des espaces topologiques et des espaces métriques (dont
Fréchet, pour ces derniers, est à l'origine) qu'il
définit axiomatiquement dès 1913 dans un traité, édité à Leipzig
: Grundzüge der Mengenlehre (Éléments de la théorie des ensembles).
| Espace topologique : |
Une topologie sur un ensemble E est la donnée d'un ensemble U de parties de E (dits ouverts de E) vérifiant les trois axiomes suivants :
➔ Un voisinage d'un point de E est une partie de E contenant un ouvert contenant ce point.
Une partie de E est dite fermée, si son complémentaire est un ouvert.
Un exemple bien connu d'espace topologique est R muni de sa topologie usuelle (dite aussi naturelle) : un intervalle ouvert ]a,b[ est l'ensemble des réels x vérifiant a < x < b et on peut écrire :
A ouvert dans R ⇔ ∀x∈A, ∃ ε > 0 , ]x - ε, x + ε[ ⊂ A.
| Axiome d'Hausdorff, Espace d'Hausdorff : |
Hausdorff introduit aussi la notion d'espace topologique séparé, dit aussi espace d'Hausdorff, pour signifier que :
Pour toute paire de points distincts x et y, il existe (au moins) un voisinage V de x et un voisinage W de y tels que V∩W = Ø
∗∗∗
Soit E un ensemble muni de la
topologie discrète. Montrer que E
est un espace séparé !
Cette propriété, ou condition, est aussi dite axiome d'Hausdorff. Elle est vérifiée dans R pour la topologie des voisinages ouverts. Notons que tout espace métrique est un espace d'Hausdorff.
i Il revient au même de dire que l'intersection de tous les voisinages fermés de tout point est réduit à ce point.
| Dimension topologique, dimension fractale : |
Suite aux "découvertes" de Cantor et de Peano, concernant en particulier une courbe remplissant un carré, Hausdorff remit en cause la notion jusqu'ici élémentaire de dimension d'un ensemble fini (nombre entier) en l'élargissant aux espaces topologiques avec l'apparition de dimensions fractionnaires (plus justement non entières) pour les ensembles fractals.
| Notations et symboles : |
On doit à Hausdorff l'usage systématique de la notation d'inclusion ⊂ (introduite par Schröder) et celle de l'ensemble vide Ø introduit par Weil).
➔ Pour en savoir plus :
.
Voronoï