ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

HAUSDORFF Félix, allemand, 1868-1942

Philosophe, poète, physicien et astronome, sa thèse soutenue à Leipzig en 1891 porte sur la réfraction de la lumière. Auteur d'essais philosophiques et de pièces de théâtre, sa contribution en mathématiques débute en 1902 lorsqu'il obtient un poste d'enseignement à Leipzig.

Nommé à Bonn (1913), il conserva ce poste jusqu'en 1935 : de confession juive, pourchassé par les nazis, Hausdorff dut quitter ses fonctions. Lors de la seconde guerre mondiale, il se suicida pour échapper à la déportation.

On doit à Hausdorff la mise en place rigoureuse des espaces topologiques et des espaces métriques (dont Fréchet, pour ces derniers, est à l'origine) qu'il définit axiomatiquement dès 1913 dans un traité, édité à Leipzig : Grundzüge der Mengenlehre (Éléments de la théorie des ensembles).

Espace topologique :

Une topologie sur un ensemble E est la donnée d'un ensemble de parties de E (dits ouverts de E) vérifiant les trois axiomes suivants :

Un voisinage d'un point de E est une partie de E contenant un ouvert contenant ce point.

Une partie de E est dite fermée, si son complémentaire est un ouvert.

A ouvert dans R    xA, ε > 0 , ]x - ε, x + ε[ A.

En savoir plus sur la topologie, son objectif, son vocabulaire :                Notion d'espace métrique :

Axiome d'Hausdorff, Espace d'Hausdorff :

Hausdorff introduit aussi la notion d'espace topologique séparé, dit aussi espace d'Hausdorff, dans lequel pour deux points distincts x et y, il existe (au moins) un voisinage V de x et un voisinage W de y tels que V W = Ø.

   Soit E muni de la topologie discrète. Montrer que E est séparé !

Cette propriété, ou condition, est aussi dite axiome d'Hausdorff. Elle est vérifiée dans R pour la topologie des voisinages ouverts. Notons que tout espace métrique est un espace d'Hausdorff.

Il revient au même de dire que l'intersection de tous les voisinages fermés de tout point est réduit à ce point.

   Fréchet , Kolmogorov

Dimension topologique, dimension fractale :

Suite aux "découvertes" de Cantor et de Peano, concernant en particulier une courbe remplissant un carré, Hausdorff remit en cause la notion jusqu'ici élémentaire de dimension d'un ensemble fini (nombre entier) en l'élargissant aux espaces topologiques avec l'apparition de dimensions fractionnaires (plus justement non entières) pour les ensembles fractals.

      Dimension topologique & dimension fractale :                 Benoît Mandelbrot , Sierpinski , Bouligand
Notations et symboles :

On doit à Hausdorff l'usage systématique de la notation d'inclusion (introduite par Schröder) et celle de l'ensemble vide Ø introduit par Weil).


Pour en savoir plus :


Tauber  Cartan Élie
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