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Théorie des ensembles : les axiomes de Zermelo-Fraenkel

Les axiomes de Zermelo et son célèbre axiome du choix (1904) sont nés des difficultés rencontrées dans l'étude de la relation d'ordre (comparaison) des cardinaux des ensembles infinis (en particulier, existence d'un bon ordre).Études sur les fondements de la théorie des ensembles

L'objectif principal est d'éliminer les aberrations liées à la notion intuitive d'ensemble et d'appartenance. Un ensemble E reste, comme pour Cantor, une collection d'objets caractérisés par une propriété discriminante  mais les axiomes suivants en précisent le sens :

• 1. axiome d'extension : Si tout élément de X est un élément de Y et inversement, alors X = Y.
  

• 2. axiome des ensembles élémentaires : l'ensemble vide existe, il n'a aucun élément, son cardinal est noté 0; si x est un objet, {x} est un ensemble appelé singleton (single = seul), son cardinal est 1. Si x et y sont des objets distincts, {x,y} est un ensemble appelé paire, son cardinal est 2.
  

• 3. axiome de la réunion : les éléments d'un ensemble d'ensembles forment un ensemble (réunion).
  

• 4. axiome des parties : la collection dont les éléments sont tous les sous-ensembles d'un ensemble E est un ensemble.  généralement noté (E).
  

• 5. axiome de l'infini : il existe au moins un ensemble X contenant l'ensemble vide et tel que si xX, alors {x}X.   On peut concevoir N ainsi. On se donne l'élément 0 (jouant le rôle de l'ensemble vide; on pose 1 = {0}, puis 2 = {0,1}, 3 = {0,1,2}, ...

Construction de N selon Von Neumann :

• 6. axiome de séparation (aussi appelé des sous-ensembles) : si P(x) est une proposition définie dans un ensemble E, alors M contient une partie F d'éléments x pour laquelle P(x) est vraie (F est éventuellement vide).
  

• 7. axiome de régularité (aussi appelé de fondation) : Pour tout ensemble non vide X, il existe un ensemble Y, élément de X tel qu'aucun élément de X ne soit élément de Y.
  Cet axiome élimine la possibilité d'avoir X élément de lui-même, source du paradoxe de Russell.
  

• 8. axiome de remplacement (Fraenkel) sous une forme simplifiée : Quel que soit l'ensemble E et la relation binaire R, il existe un ensemble X constitué des éléments z tel que R(y,z) soit vraie.
  si R est une fonction, en notant z = R(y), c'est dire que X = R(E).
  

• 9. axiome du choix : pour toute classe d'ensembles non vides et disjoints, il existe un algorithme (fonction de choix) permettant d'extraire un élément et un seul dans chaque ensemble afin de constituer un nouvel ensemble.

En savoir un peu plus sur l'axiome du choix :

• La théorie des ensembles basée sur les axiomes 1 à 7 est dite de Zermelo (Z).

• Complétée par l'axiome 8, on parle de la théorie Zermelo-Fraenkel, dite ZF.

• Si on lui adjoint l'axiome du choix (axiome 9), elle est dite ZFC (C comme choix).

• Enfin, la théorie des ensembles, liée à la notion de classe où un ensemble apparaît comme élément d'une classe définie également axiomatiquement est dite NBG pour signifier von Neumann, Bernays et Gödel

 On pourra se référer à :

• La théorie des ensembles, par Alain Bouvier , Que sais-je ?, n° 1363, P.U.F.
• Abrégé d'histoire de mathématiques, Jean Dieudonné , Ch X1, Axiomatique et logique par Marcel Guillaume - Ed. Hermann, Paris - 1978
• Les fondements des mathématiques, de la géométrie d'Euclide à la relativité générale et à l'intuitionnisme
  Dr F. Gonseth, Librairie scientifique et technique Albert blanchard - Paris, 1926 / 1974

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N.B.  Un objet x sera élément de l'ensemble E si R(x) est vraie. Par exemple, si nous supposons N bien défini, la relation R définie dans N par x se termine par 0 ou 5 définira l'ensemble M₅ les multiples de 5 : M₅ = {x / xN et R(x)}