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Formulation moderne de l'axiome d'Archimède       
   
formulation géométrique de Hilbert

On considère un groupe additif (G,+) muni d'un ordre total noté < (deux éléments quelconques sont comparables), d'élément nul 0 (élément neutre). Si x est un élément de G, on note nx le n-ème itéré de x pour l'addition, soit x + x + x + ...+ x (somme de n termes égaux à x).

Ce substantif itéré nous vient du latin iterare = redire, répéter. On rencontre également le verbe réitérer forgé sur reiterare , le re exprimant exprimant l'insistance. L'usage de itéré, utilisé ici, peut apparaître anachronique car son utilisation en mathématique apparait au 20è siècle. le n-ème itéré de x pour la multiplication n'est autre que xn. Dès les années 1970, en informatique, on parle d'itération et d'algorithme itératif.

Avec les notations ci-dessus, l'axiome d'Archimède énonce :

pour tout x et tout y de G vérifiant 0 < x < y, il existe un entier n pour lequel nx > y

Un groupe vérifiant l'axiome d'Archimède est dit archimédien. Un anneau (ou un corps) est dit archimédien si son groupe additif l'est. Ce concept permet une construction des nombres réels par la méthode des "coupures" (due à Dedekind) et amène à celui du continu.

La formulation moderne de l'axiome d'Archimède intervient dans deux domaines :

L'axiome d'Archimède paraît bien évident lorsqu'on pense aux nombres "usuels" : les entiers relatifs de Z. On remarquera cependant que le groupe additif Z2 muni de l'addition usuelle des couples (a,b) + (a',b') = (a+a',b+b'), totalement ordonné par l'ordre lexicographique, n'est pas archimédien.

L'ordre lexicographique est ainsi nommé car c'est celui du dictionnaire : considérons deux couples (a,b) et (a',b') de Z2 :

Axiome d'Archimède en tant 1er axiome de continuité de la géométrie de Hilbert :

Dans sa reconstruction axiomatique de la géométrie euclidienne, Hilbert insère l'axiome d'Archimède sous cette forme, dite axiome du continu (les concepts de points et de droites étant préalablement explicités) :

Considérons une droite (AB) et A1 un point quelconque du segment [AB] autre que A et B. En reportant le segment [AA1] on obtient une suite de points équidistants A, A1, A2, ... Au bout d'un nombre fini de reports, on atteindra un point An pour lequel B sera entre A et An. Ce principe conduit à l'équivalence de la droite géométrique et de la droite réelle qu'énonça Dedekind.

 Axiome de Cantor- Weierstrass :               Paradoxe de Galilée :

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