ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Série de Fourier d'une fonction de L2 - Espaces 2(Z)      
 
espaces Lp , exercice

Soit J = [0,2π] et f une fonction à valeurs réelles ou complexes, élément de l'espace vectoriel normé L2(J) des fonctions de carré intégrable au sens de Lebesgue sur l'intervalle J, muni de la norme de la convergence en moyenne quadratique :

issue du produit scalaire hermitien :

     

La multiplication par 1/2π dans ce produit scalaire trouvera sa justification dans l'exemple 2 ci-dessous. Lorsque f est à valeurs complexes, l'écriture |f(x)| désigne le module du nombre complexe f(x). Par la suite, L2 désignera L2(J). Si f est périodique, on peut remplacer [0,2π] par tout intervalle d'amplitude 2π, comme par exemple [-π,+π] souvent plus pratique dans les calculs, puisque si f est de période T, son intégrale sur [0,T] est égale à son intégrale sur [a, a + T] pour tout réel a.

  Riesz , Hilbert

Introduction :

Dans le cas général des séries de Fourier , on cherche à associer à f, supposée périodique une série trigonométrique en recherchant des coefficients an et bn tels que  :

         justification de cette forme

On a alors, selon les formules d'Euler :

Soit alors cn= (an - ibn)/2; quitte à poser a-n = an et b-n = -bn, on a c-n = (an+ ibn)/2, conjugué de cn; posons en outre bo = 0, d'où co = ao/2 : pour tout n de Z, les cn sont appelés coefficients exponentiels de Fourier de f qui apparaît alors comme limite pour N infini d'une somme de la forme :

où les (en) constituent une suite de fonctions orthogonales de L2.

Exemple 1 : 

On suppose J = [0,2π] ou tout intervalle d'amplitude 2π. La suite constituée de x1 et des fonctions xcos nx et xsin nx pour tout n non nul de N (ou Z) est orthogonale sur J. On vérifiera qu'on peut rendre cette suite orthonormale en multipliant chaque terme autre que x1 par 2 (inverse de leur norme commune).

Exemple 2 : 

La suite de fonctions (en) définie par en(x) = einx, pour tout n de Z est une suite orthonormale de L2. En effet :

On remarque que  <en , en> = ||en||22 = 1 pour tout n de Z. La suite (en) est orthonormale de L2(J).

Il s'agit en fait d'un système total : base hilbertienne engendrant l'espace vectoriel L2 : espace de Hilbert de dimension infinie. Dans une telle base (en) tout élément de L2 est combinaison linéaire finie ou infinie des (en). La preuve de ce résultat utilise le théorème d'approximation trigonométrique de Weierstrass.

Espaces de Hilbert :               Polynômes orthogonaux :

Série de Fourier associée à f dans L2 :

On appelle somme partielle de la série de Fourier associée à f dans L2, la somme :

où la suite (en) est orthonormale dans L2 et les cn les coefficients (réels ou complexes) à rechercher afin d'approximer au mieux f(x) au sens de la norme ||  ||2  en cherchant à minimiser :

Minimiser I, c'est minimiser son carré :

Développons l'intégrande sachant que dans C on a :

|z - z'|2 = |z|2 - z - z' +  |z'|2  = < z , > - z - z' +  < z' , >

Il vient, en faisant l'économie de quelques lourdeurs d'écriture :

les (en) étant orthonormaux, le dernier terme se réduit à Σ<cnen , cnen> = Σ|cn |2.

On pose maintenant :

I2 devient :

On peut écrire :

Soit :

Par conséquent I sera minimale pour αn = cn. C'est dire que :

Théorème (ou lemme) de Riemann-Lebesgue (également valable dans L1) :  

Pour toute fonction f de L2, cn tend vers 0 (ainsi donc que an et bn)

L'égalité évaluant I2 obtenue ci-dessus permet d'écrire :

C'est l'inégalité de Bessel dans L2.

Théorème 1 :  

Si la suite des (en) est totale (elle engendre L2), alors I tend vers 0 pour N infini :  SN converge vers f en moyenne quadratique. De plus, l'inégalité de Bessel devient une égalité, dite de Parseval  :

Théorème 2 :  

Soit (cn), n entier relatif, une suite de carré sommable. En conséquence du théorème de Fischer-Riesz, on a ces importants résultats  :

Où l'on retrouve les résultats usuels des séries de Fourier :

On suppose ici f 2π-périodique. Le cas des fonctions (en) définie par en(x) = einx évoquées ci-dessus est fondamental : pour cette base hilbertienne, l'égalité de Parseval s'écrira :

 
Un exemple qui est aussi étudié dans le
calcul de ζ(2) pour une convergence ponctuelle en 0 :

Soit f, 2π-périodique définie par f(x) = | x | lorsque [- π,+ π]. Cette fonction est de carré intégrable dans L2([- π,+ π]) :  l'intégrale de f 2 est 2 π3/3.

1°/ Vérifier que l'on a co = π/2.
2°/ Calculer cn (n non nul) : on changera x en - x sur l'intervalle [- π,0] et on pensera utilement à remplacer einx +e-inx par ½cos nx.
     
Rép : 0 si n pair, -2/πn2 si n impair, soit | cn |2 = 4/ π2n4 ( n impair).
3°/ Déduire de l'égalité de Parseval : (π/2)2 + 8/ π2Σ1/(2p + 1)4 =  π2/3 (la somme Σ s'étendant de p = 0 à +).

4°/
En déduire : π4/96 = 1 + 1/34 + 1/54 + 1/74 + ...1/(2p + 1)4 + ...


En exprimant cn et c-n  au moyen de cos nx et sin nx, on retrouve par addition et soustraction les coefficients an et bn des séries de Fourier "usuelles" (avec ao = 2co) :

ce qui (re)fournit :

On considère les suites (un) à valeurs dans C, indexées par Z. On note 2(Z) l'ensemble des suites (un) telles que Σ|un|2 converge (par comparaison à L2, on dit parfois que (un) est de carré sommable (si un est complexe, il s'agit du carré du module).

On vérifie facilement que 2(Z) est un espace vectoriel sur C. En effet, en particulier : si (un) et (vn) sont deux suites de 2(Z) , on peut écrire :

La majoration de la seconde ligne est due au fait que, d'une façon générale, z + z =2Re(z).

Or, Re(zz') | z |.|z'| : Argand, exercice 3. On déduit de cette majoration que la somme de éléments de 2(Z) est un élément de 2(Z).

On peut définir un produit scalaire dans 2(Z en posant simplement :

On remarque que l'on peut poser : <un , un> = Σ|un|2 < + : c'est un produit scalaire dans  2(Z) et on peut donc définir une norme à partir de ce produit scalaire par || un || = (Σ|un|2 )½.

L'espace des suites de 2(Z) est donc un espace de Hilbert et on constate, eu égard au théorème 1 et au théorème 2 (sa réciproque en quelque sorte) que l'on peut identifier l'espace des fonctions de carré intégrable sur [0,2π] à l'espace 2(Z) des suites de carré sommable. Ce résultat avait été constaté par Riesz en 1913.

Avila


  Pour en savoir plus :

  1. Cours de mathématiques, tome 1, Jean Bass - Éd. Masson et Cie - Paris, 1964.

  2. Cours de mathématiques, tome 3 : compléments d'analyse,
    Jean-Marie Arnaudiès, Henri Fraysse - Classes préparatoires, 1er cycle universitaire, tome 3
    Dunod Université - 1987-89

  3. Calcul intégral (théorie de la mesure, intégrale de Lebesgue, distributions), A. Guichardet
    Ed. Armand Colin - collection U (niveau maîtrise), 1969.
  4. Intégration & Analyse hilbertienne, A. Guichardet , Éd. Ellipses X École polytechnique, Paris, 1989
  5. L'intégrale, par Paul Deheuvels, Que sais-je ?, n° 2250, P.U.F.
  6. Espaces vectoriels topologiques, dualité,  N. Bourbaki, ch. 4 & 5 et note historique in Éléments de mathématique, Éd. Hermann, Paris, 1964.


© Serge Mehl - www.chronomath.com