ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
  Séries
alternées |
Une série numérique alternée est une série dont le terme général un change de signe suivant la parité de n :
la série 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +1/5 - ... de terme général un = (-1)n+1/n (pour n non nul) est une série alternée dite semi-harmonique.
la série x - x3/3! + x5/5! - x7/7! + ... de terme général un = (-1)n × x2n+1/(2n+1)! converge vers sin x (sinus de x) pour toute valeur de x.
| Critère de Leibniz et majoration du reste : |
Lorsque, pour une telle série, | un | tend vers 0 en décroissant, alors la série converge (c'est le critère de Leibniz) et si l'on tronque le développement au rang n, le reste de la série, à savoir un+1 + un+2 + ... est, en valeur absolue, inférieur à |un+1| : un résultat très important en calcul numérique car il permet d'estimer l'erreur maximale commise en négligeant le reste.
Dans le second exemple cité, celui de sin x, on peut constater une convergence "très rapide" de la série : on sait que l'on peut calculer le sinus de tout angle en se ramenant à l'intervalle [0,π/2], voire à [0,π/4] en remarquant que si x∈[π/4,π/2] alors :
Il est clair que le critère de Leibniz s'applique ici. Par suite, en écrivant :
l'erreur ε commise n'excède pas (π/4)5/120 = 0,002490... , soit : ε < 0,0025.
En écrivant :
l'erreur n'excède pas (π/4)7/7! = 0,00003657..., soit : ε < 0,00004. Ce qui est tout à fait remarquable. Le tableau ci-dessous obtenu avec un tableur confirme ces calculs :
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π/10 |
0,30901699 |
0,308991553 |
0,309017054 |
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π/9 |
0,34202014 |
0,341977081 |
0,342020268 |
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π/8 |
0,38268343 |
0,382605893 |
0,382683717 |
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π/7 |
0,43388374 |
0,433732732 |
0,433884465 |
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π/6 |
0,5 |
0,499674179 |
0,500002133 |
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π/5 |
0,58778525 |
0,586976828 |
0,587792881 |
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π/4 |
0,70710678 |
0,704652651 |
0,707143046 |
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π/3 |
0,8660254 |
0,855800782 |
0,866295284 |
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π/2 |
1 |
0,924832229 |
1,004524856 |