ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

MOIVRE Abraham De-, anglais, 1667-1754

Français d'origine, né à Vitry-le-François, Abraham de Moivre, protestant (huguenot) se réfugia en Angleterre lors de la révocation de l'Édit de Nantes (1685). Il y enseigna les mathématiques. Protégé de Newton et de l'astronome Halley, il fit son entrée à la Royal society. Ce n'est que quelques mois avant sa mort que l'Académie des sciences de Paris lui ouvrit ses portes en tant que membre étranger !

De Moivre apporta une importante contribution au calcul des probabilités, à cette époque branche nouvelle des mathématiques avec la publication de De mensura sortis (1711) puis The Doctrine of Chances (1718), pouvant se traduire par La théorie des probabilités .

Ce terme de chance utilisé en France, avec Pascal et Fermat par exemple rappelle que le calcul des probabilités trouve son origine dans les jeux de hasard ce dernier provenant de l'arabe ez zahr = dé à jouer signifiant également chance !

Suite aux travaux entamés par Jakob Bernoulli dans son Ars Conjectandi, De Moivre découvre le premier la possibilité d'approcher une loi binomiale B(n,p) par une loi normale pour n grand.

On lui doit aussi un des premiers résultats sur la décomposition des fractions rationnelles en éléments simples afin de calculer leurs primitives ainsi qu'une théorie des fonctions hyperboliques dont il est, avec Lambert, le promoteur.

La loi binomiale

Rappelons qu'une distribution binomiale est engendrée par la somme de n variables aléatoires indépendantes de Bernoulli :

B = X1+ X2 + ... + Xn

les Xi ne pouvant donc prendre que deux valeurs : 0 avec la probabilité p et 1 avec la probabilité 1- p. On a , pour tout kn :

Pr (B n= k) = Cnkpk(1-p)n-k = Cnkpk qn-k

avec traditionnellement q = 1 - p, Cnk désignant le nombre de combinaisons de k objets parmi n.

  Calculer (en ligne)  Prob (B = k) &  Prob ( x < B < y) :

Lorsque n est grand et p non voisin de 0 et 1, B peut être approchée par la loi normale N(np,s) où s est l'écart-type de la loi B, racine carrée de la variance, à savoir :

On constate au moyen de tables que l'approximation est acceptable lorsque sont réunies les trois conditions :

n > 15, np > 15, nq > 15

Lois normale et binomiale (exposé et exercices) :     Théorème central limite :
 

La formule des probabilités composées (1718) :

De Moivre énonce la formule dite des probabilités composées :

Prob(A et B) = Prob(A/B) x Prob(B)

où Prob(A/B) désigne la probabilité de réalisation A sachant que B est réalisé (probabilité conditionnelle de A par rapport à B).

Depuis Kolmogorov, avec l'introduction du langage des ensembles dans le calcul des probabilités, la probabilité Prob(A et B) de la conjonction de A et B peut se noter Prob(A B).

Un exemple classique :           Théorème de Bayes :

La formule de Moivre (ou de de Moivre) :

Algébriquement, l'ensemble C des nombres complexes est un corps commutatif. Tout nombre complexe z peut donc, a priori, être élevé à une puissance entière, réelle, voire complexe.

Concernant les puissances entières, la paternité de cette célèbre formule (1722), dont les mathématiciens suisses Lambert et Euler feront grand usage, revient sans doute à Cotes (mort prématurément à 34 ans en 1716). Pour tout t réel et n entier :

(cos t + i.sin t)n = cos nt + i.sin nt

La  notation i remplace utilisée par de Moivre.

La formule de Moivre s'obtient aisément par récurrence sur n dans l'ensemble des entiers naturels. Mais la formule reste vraie pour un entier négatif : soit n un entier relatif négatif; posons m = - n > 0 :

La dernière égalité est due au fait que si z est un nombre complexe de module 1, on a z = 1, donc 1/  = z.

 La formule ne s'applique pas à des valeurs rationnelles non entières de n 

Un tel nombre n = m/p conduirait formellement à :

(cos t - i.sin t)n = (cos t - i.sin t)m/p = [(cos t - i.sin t)m]1/p = (cos mt - i.sin mt)1/p

et cette dernière écriture est illicite car elle tend à exprimer la racine p-ème du nombre complexe cos mt - i.sin mt et on sait qu'un tel nombre n'est pas unique : d'une façon générale, dans l'ensemble C des nombres complexes, écrire  z = am/p n'a généralement pas de sens.

Racines n-èmes dans C, racines n-èmes de l'unité :               Puissance d'un nombre dans R ou C :

Argand , Wessel

Linéarisation de polynômes trigonométriques :

La célèbre formule permet des calculs aisés sur les nombres complexes écrit sous forme trigonométrique z = r(cos t + i.sin t) et, en particulier, de linéariser des polynômes trigonométriques, technique chère aux élèves des Terminales scientifiques des lycées, ayant généralement pour objectif un calcul de primitive.

En changeant t en -t, on a (cos t - i.sin t)n = cos nt - i.sin nt; par suite, en utilisant la notation d'Euler, cos t + i.sin t = eit, on a :

Exemples : linéarisons sin3t. On a :

On trouverait facilement : cos3 t = ¼(cos3t + 3cost)

 
a) Exprimer cos3t en fonction de sin t et cos t puis en fonction de cos t seul. En déduire la forme linéarisée de cos3t
b) linéariser sin3tcos4t.

a) En développant le membre de gauche dans l'égalité (cos t + i.sin t)3 = cos 3t + i.sin 3t et en identifiant les parties réelle et imaginaire, on obtient immédiatement cos3t = cos3t -3cost.sin2t = 4cos3t - 3cost.         b) Afin de linéariser sin3tcos4t, on écrit :

Le produit sin3tcos4t étant une fonction impaire de t, nous n'obtiendrons que des sinus; on développe en gardant 2i au dénominateur et on obtient, en regroupant les eint avec les e-int :

Autres exercices niveau Ter/Sup :

Formule de Moivre-Stirling :

On doit aussi à De Moivre la formule dite aujourd'hui de Stirling, donnant pour n grand, une approximation de la factorielle de n (n!, i.e. le produit des n premiers entiers, symbole dû à Kramp) :

Notion de factorielle :


Bernoulli Jean  Saccheri
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