ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

PISOT Charles, français, 1910-1984

Élève de l'ENS, Charles Pisot fut reçu 1er au concours de l'agrégation de mathématiques (1932). Sa thèse dirigée par Denjoy (1938) porta sur un sujet de théorie des nombres initié par Kronecker relatif à la répartition modulo 1 de certaines classes de nombres algébriques ( ref.2).

Maître de conférences puis professeur à Bordeaux, il obtient un poste à la faculté des sciences de Paris (1955) et à l'École polytechnique. Pisot fut aussi membre du groupe Bourbaki. En 1956, il dirigera, avec Dubreil, le séminaire d'algèbre que ce dernier avait créé en 1947 avec Châtelet.

Outre son célèbre livre de Mathématiques générales1 (Éd. Dunod, 1956) écrit en collaboration avec Marc Zamansky, bible des étudiants en mathématiques des années 1960-70, on lui doit notamment, en collaboration avec Hubert Delange et Georges Poitou au sein de leur Séminaire de théorie des nombres qui vit le jour en 1959, des travaux en théorie des nombres. Il y développe en particulier, dans le prolongement de sa thèse, les nombres dits de Pisot.

Suite de nombres réels modulo 1 :

En rapport avec l'étude et la répartition des nombres irrationnels sur la droite réelle, Kronecker s'intéresse en 1884 aux suites vn = un - [un] où (un) désigne une suite numérique réelle et [un] la partie entière par défaut de un.

Hardy et Littlewood puis Axel Thue et Herman Weyl s'emparèrent de ce sujet compte tenu de son importance dans l'étude des corps de nombres algébriques et les problèmes d'approximation diophantienne.

Répartition et équirépartition modulo 1 :

Nombres de Pisot ou de Pisot-Vijayaraghavan :

 Tirukkannapuram Vijayaraghavan (1902-1955) était un mathématicien indien. Il obtint son doctorat portant sur la théorie des nombres (Properties of power series and continued fractions) auprès de G. H. Hardy à l'université d'Oxford en 1929. Sa thèse porta sur les séries de puissances et les développements en fraction continue. Rentré en Inde l'année suivante, il contribue au renouveau de l'École mathématique indienne avec l'aide d'André Weil à l'université d'Aligarh.

Faisant suite à ses recherches sur la répartition modulo 1 dans sa thèse de 1938, Pisot étudie les nombres portant aujourd'hui son nom à savoir les entiers algébriques réels strictement supérieurs à 1 dont les conjugués réels ou complexes sont de module ρ < 1 ( ref.3) :

Nombres de Pisot & nombres de Salem :

Les nombres de Pisot conduisent d'autre part à d'intéressants résultats concernant la transcendance de nombres réels. On peut par exemple citer le critère suivant :

Critère de Pisot pour la transcendance d'un nombre ( réf.2, fin d'article) :

Pour qu'un réel a soit transcendant, la série de terme général sin2(aπxn) doit diverger pour tout x > 1

ou encore :

Le produit infini de terme général cos(aπxn) doit diverger pour tout x > 1.

 Liouville , Gelfond , Baker

Pour en savoir plus :

  1. Entretien avec Jacques Nimier : http://www.pedagopsy.eu/entretien_pisot.htm

  2. Travaux de Charles Pisot, dont sa thèse (La répartition modulo 1 et les nombres algébriques) :
    www.numdam.org/numdam-bin/recherche?h=aur&aur=Pisot,+Charles&format=short

  3. Sur un ensemble fermé d'entiers algébriques (nombres de Pisot ), 1953 :
    http://archive.numdam.org/ARCHIVE/ASENS/ASENS_1953_3_70_2/ASENS_1953...0.pdf

  4. Algbraic numbers whose conjugates lie in the unit circle, Siegel, 1944 (projet Euclide, accès limité) :
    http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=...

  5. Proof of a conjecture de Vijayaraghavan, Salem, 1944 (projet Euclide, accès limité)  :
    http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate view=body&id=pdffirstpage_1&handle=...

  6. Pisot traite aussi les suites de Farey en liaison avec l'hypothèse de Riemann :
    http://archive.numdam.org/ARCHIVE/SDPP/SDPP_1960-1961__2_/SDPP_1960...A11_0.pdf

  7. Distribution modulo 1 of the powers of real numbers larger than 1, par Ch. Pisot et R. Salem :
    http://archive.numdam.org/ARCHIVE/CM/CM_1964__16_/CM_1964__16__164_0/CM_1964__16__164_0.pdf

  8. Sur les mauvaises répartitions modulo 1, par Jean-Pierre Kahane (1964) :
    http://archive.numdam.org/ARCHIVE/AIF/AIF_1964__14_2/AIF_1964__14_2_519_0/AIF_1964__14_2_519_0.pdf

  9. Équirépartition modulo 1 d'après Hermann Weyl, par Pierre de la Harpe (Univ. Genève) :
    http://www.unige.ch/math/folks/delaharpe/vulgarisation/4Therg20mar05.pdf

  10. Corps de nombres engendrés par un nombre de Salem, par  Frank Lalande (Université Paris 6, 1999) :
    http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa88/aa8828.pdf

  11. Nombres de Pisot inférieurs à Φ sur Wikipedia : http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Pisot-Vijayaraghavan


1et qu'illustra brillamment le livre de G. Lefort du même éditeur : algèbre et analyse, exercices.


Doob  Kakutani
© Serge Mehl - www.chronomath.com