ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
SYLOW Peter Ludwig Mejdell, norvégien, 1832-1918 |
Né à Christiania, aujourd'hui Oslo, capitale de la Norvège, Sylow y fit ses études qu'il compléta grâce à une bourse d'études à Göttingen, Berlin et Paris. A son retour en Norvège, Sylow enseigna plusieurs années en lycée avant d'obtenir un poste à l'université de Christiania (1862) où Sophus Lie fut un de ses élèves. Mais ce ne fut qu'en 1898 que, grâce à l'intervention de ce dernier, qu'une chaire d'algèbre lui fut confiée.
» Fondée au 11è siècle, la ville d'Oslo fut ravagée par un terrible incendie en 1624. Reconstruite par le roi Christian IV, il lui donna son nom : Christiania. Ce n'est qu'en 1925 lors de la scission avec le Danemark que la ville reprend son nom d'origine avec le statut de capitale du pays. » Oslo (site externe).
Inspiré par son compatriote Abel, les travaux de Sylow portent exclusivement sur le développement de la théorie des groupes (représentation et classification). On lui doit d'ailleurs en collaboration avec Lie, une réédition des œuvres d'Abel initiée en 1873.
|
Premier théorème de Sylow, sous-groupe de Sylow : |
Soit G un groupe fini d'ordre n (son nombre d'éléments), p un diviseur premier de n, pk la plus grande puissance de p dans la décomposition de n en facteurs premiers. Dans ces conditions :
Si α∈N, 1 ≤ α ≤ k, alors G admet au moins un sous-groupe d'ordre pα
Selon ce résultat, G admet donc pour tout diviseur p premier de son ordre n, un sous-groupe d'ordre p (α = 1) et, par là, un élément d'ordre p : on retrouve un théorème de Cauchy. Lorsque α = k, les sous-groupes correspondants, étudiés par Sylow, portent son nom. On parle de p-sous-groupe de Sylow.
Sous-groupe conjugué :
Soit G un groupe et I un automorphisme intérieur de G. L'image d'un sous-groupe H de G par I est un sous-groupe de G. Si I : x → g*x*g-1, g fixé dans G, on a I(H) = gHg-1. L'image homomorphe d'un groupe est un groupe (» Jordan) : I(H) est un sous-groupe de G appelé conjugué de H (relativement à g). H sera distingué dans G s'il est égal à chacun de ses conjugués.
On démontre que (» réf.) :
Si S est un p-sous-groupe de Sylow, tout autre p-sous-groupe
de Sylow est un conjugué de S
(ils sont donc isomorphes).
|
Second théorème de Sylow : |
Avec les notations précédentes :
Le nombre de p-sous-groupes de Sylow
est congru à 1 modulo p
et tout sous-groupe d'ordre pα
est inclus dans un tel sous-groupe.
➔ Pour en savoir plus :
Clebsch